第3讲两角和与差的正弦学案

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1、第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切【2013年高考会这样考】考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值．【复习目标】本节复习时，应准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；重点解决三角函数式的化简、求值、求角问题．基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α－β)：cos(α－β)＝；(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝；(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝；(4)S(α－β)：sin(α－β)＝；(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝；(6)T(α－β)：tan(α－β)＝.2．二倍角的正弦、余

2、弦、正切公式(1)S2α：sin2α＝；(2)C2α：cos2α＝＝＝；(3)T2α：tan2α＝.3．有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)；(2)cos2α＝，sin2α＝；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－.(2)化

3、简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列各式的值为的是(　　)A．2cos2－1B．1－2sin275°C.D．sin15°cos15°2．(2011·龙岩质检)计算sin68°sin67°－sin2

4、3°cos68°的值为(　　)．A．－B.C.D．13．已知sinα＝，则cos(π－2α)等于(　　)．A．－B．－C.D.4．(2011·辽宁)设sin＝，则sin2θ＝(　　)．A．－B．－C.D.5．tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝________.考向一　三角函数式的化简第4页【例1】►化简.[审题视点]切化弦，合理使用倍角公式．解　【方法总结】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的

5、公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．【训练1】化简：.解　考向二　三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．[审题视点]拆分角：＝－，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．解　【方法总结】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．【训练2】已知α，β∈，sinα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．

6、解　考向三　三角函数的求角问题【例3】►已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β.[审题视点]由cosβ＝cos[α－(α－β)]解决．解　第4页【方法总结】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．【训练3】已知α，β∈，且tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，求α＋β的值．解　考向四　三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos2x

7、＋sin2x.(1)求f的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[审题视点]先化简函数y＝f(x)，再利用三角函数的性质求解．解【方法总结】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【训练4】已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解　难点突破10——三角函数求值、求角问题策略面