数学实验-最佳分数近似值

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1、实验三最佳分数近似值一、实验名称:最佳分数近似值。二、实验目的:本实验是要研究怎样用分数近似值去对给定的无理数做最佳近,“最佳”就是既要误差小,又要分母小。我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准,还要寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。三、实验环境:Mathematica系统,Word文档,课本。四、实验的基本理论和方法:通过对的近似方法的分析得到分数的最佳近似值。是无理数,对于任何一个无理数,不可能用分数来作的准确值,只可能作它的近似值,近似值的优劣可以用绝对误差来衡量。绝对误差越小,就说明这个近似值的精确度越高。任意给定一个分母,总可以选取适当的分子使最

2、接近准确值,也就是使绝对误差最小,小于。由此可见,要提高精确度,减少误差,一个简单的办法是增大分母。只要足够大,就可以使误差任意小。五、实验内容和步骤:(一)实验内容1.分数对无理数的最佳逼近:若有一个分数的分母并且误差,或者分母且误差,那么就是比更佳的分数近似值,就不能说是“最佳”。反过来,如果的误差比起分母不超过的其他分数近似值都小,也就是对所有以及且成立,这时,就称给出了的最佳逼近。2.计算对数值:对给定的正实数,且,要求对数值,也就是求实数使.如果能找到整数,使,则,.以(即)为例:由可得.再要提高精确度,就要找出更大的使更接近10的某个幂,也就是使更接近1.

3、(二)实验步骤1.分数对无理数的最佳逼近(1)取n=50,让分母q依次取遍1到n的整数值,对每一个分母q,将q*Pi四舍五入得到一个整数p作为分母。输入程序运行结果得:(2)以为分母,为分子的分数输入程序,运行结果得:(3)计算出的绝对值输入程序运行结果得:(4)将它们的绝对值进行升序排列输入程序运行结果得:2.计算对数值:(1)让q依次取遍1到10000的所有的正整数,对每个q,按如下的递推法则求出一个正整数使实数最接近于1:时,,.设已对求出和.计算(即).如果,则取.如果,则取,.如果比以前所有的都更接近1,即对所有的成立,就取作为的一个近似值,这样得出的都是最

4、佳逼近的分数近似值,它们可以展开成小数近似值。(2)辗转相除法求对数取.对每个整数,如果已经知道所有的及,则可按下面的方法求出和:将连续除以若干个,直到所得的商满足条件为止,则连除的的个数就是,而商就是.如果某个,则递推过程终止,是有限连分数从而使有理数.否则,递推过程可以无限地进行下去,被展开成无限连分数。六、实验结果及分析1.通过上述实验,我们也可将误差小、分母小这两个标准综合起来,以误差与分母q的乘积为标准来判定分数近似值的优劣,越小,越优。还可以进一步强化“分母小”这一要求,用作衡量标准,值越小越优。2.计算对数的常用方法是利用泰勒展开式分别求出lnN、lnb

5、,再利用换底公式.当N=1+x与1相差太远时泰勒级数不收敛或收敛太慢。此时可选适当的,,…,使每个,,…,都很接近1,且N=…,从而lnN=lnN1+lnN2+…+lnNk。

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