数学实验-最佳分数近似值

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1、实验三最佳分数近似值一、实验名称:最佳分数近似值。二、实验目的:本实验是要研究怎样用分数近似值去对给定的无理数做最佳近，“最佳”就是既要误差小，又要分母小。我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准，还要寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。三、实验环境:Mathematica系统，Word文档，课本。四、实验的基本理论和方法：通过对的近似方法的分析得到分数的最佳近似值。是无理数，对于任何一个无理数，不可能用分数来作的准确值，只可能作它的近似值，近似值的优劣可以用绝对误差来衡量。绝对误差越小，就说明这个近似值的精确

2、度越高。任意给定一个分母，总可以选取适当的分子使最接近准确值，也就是使绝对误差最小，小于。由此可见，要提高精确度，减少误差，一个简单的办法是增大分母。只要足够大，就可以使误差任意小。五、实验内容和步骤：（一）实验内容1．分数对无理数的最佳逼近：若有一个分数的分母并且误差，或者分母且误差，那么就是比更佳的分数近似值，就不能说是“最佳”。反过来，如果的误差比起分母不超过的其他分数近似值都小，也就是对所有以及且成立，这时，就称给出了的最佳逼近。2．计算对数值：对给定的正实数，且，要求对数值，也就是求实数使.如果能找到整数，使

3、，则，.以（即）为例：由可得.再要提高精确度，就要找出更大的使更接近10的某个幂，也就是使更接近1.（二）实验步骤1．分数对无理数的最佳逼近（1）取n=50,让分母q依次取遍1到n的整数值，对每一个分母q，将q*Pi四舍五入得到一个整数p作为分母。输入程序运行结果得：（2）以为分母，为分子的分数输入程序，运行结果得：（3）计算出的绝对值输入程序运行结果得：（4）将它们的绝对值进行升序排列输入程序运行结果得：2．计算对数值：（1）让q依次取遍1到10000的所有的正整数，对每个q，按如下的递推法则求出一个正整数使实数最接

4、近于1：时，，.设已对求出和.计算（即）.如果，则取.如果，则取，.如果比以前所有的都更接近1，即对所有的成立，就取作为的一个近似值，这样得出的都是最佳逼近的分数近似值，它们可以展开成小数近似值。（2）辗转相除法求对数取.对每个整数，如果已经知道所有的及，则可按下面的方法求出和：将连续除以若干个，直到所得的商满足条件为止，则连除的的个数就是，而商就是.如果某个，则递推过程终止，是有限连分数从而使有理数.否则，递推过程可以无限地进行下去，被展开成无限连分数。六、实验结果及分析1.通过上述实验，我们也可将误差小、分母小这两

5、个标准综合起来，以误差与分母q的乘积为标准来判定分数近似值的优劣，越小，越优。还可以进一步强化“分母小”这一要求，用作衡量标准，值越小越优。2.计算对数的常用方法是利用泰勒展开式分别求出lnN、lnb，再利用换底公式.当N=1+x与1相差太远时泰勒级数不收敛或收敛太慢。此时可选适当的，,…,使每个，,…,都很接近1，且N=…，从而lnN=lnN1+lnN2+…+lnNk。