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1、以相似为载体的课本习题的变式探究?解题研究?中'擞?7(2011年第9期?初中版)33相为载体的课本习题的变式探究733000甘肃武威市十三中学宋盛华人教九年级数学下册复习题27第13题是一道应用"相似三角形对应高的比等于相似比"进行求解的几何问题.由相似为载体生成的中考题和竞赛题近几年来频频出现,下面就这道习题的一般变式作系列探究.1原题再现如图1,AABC是一块锐角三角形材料,边BC=120mm,高AD=80ram,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,这个正方形零件的边长是多少?lFBGDHC图
2、1分析如图1,EFGH为正方形,则肼∥BC,AK上EF.设正方形边长为,AAEF的高可写成AK=AD—KD=AD—EF=80一.由△A一△ABc,=EF.80-x=南.解得=48.即正方形零件的边长是48ram.点评在应用相似三角形的性质解题时,大家比较熟悉的性质是对应角相等,对应边成比例,而相似三角形中"对应高的比等于相似比"则不太熟悉.但在解决相似三角形的面积问题或内接四边形问题时,我们一定要已知:如图4,若点0是四边形ABCD内切圆的圆心,切点分别为E,F,G,H,肌与C,E相交于点P.求证:对角线AC,BD必经过点分析由蒙日(根心)定
3、以理可知:三个圆两两相交,它图4们的公共弦所在直线平行或交于一点.本题中过D,日,F三点的圆,过G,F,N三点的圆和6)0的三条公共弦GE,HF,DN一定交于一点P,只要证明点曰在直线DN上即可.证明作过D,日,F三点的圆交AB于.s,作过D,G,E三点的圆交BC的延长线于因为DC,AB与00相切于点G,E,由弦切角的知识可知/CGE=/BEG,再由圆内接四边形的知识可知:DG=SE.同理可证:DH=F又因为AD,CD与QO相切于点H,G所以DH=DG从而F=DH=DG=SE因为AB,CB与00相切于点E,F所以BE=BF于是BE?BS=BF
4、?BT因为"在平面上任给两不同心的圆,则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线".所以点B必在直线DN上,即对角线BD经过点P同理可证对角线AC也必经过点P所以对角线AC,BD必经过点P.对于文章开篇提出的猜想,经过近一年断断续续的思索,仍没有找到简洁的证明思路,于是把这个猜想发到网上征解."踏破铁鞋无觅处,得来全不费工夫",在"百度"中搜索,无意发现网页(http://www.aoshoo.corn/bbsl/dispbbs,asp?boardid=43&Id=16398&—star—=1)中的"庄梦蝶"给出了该问题的证明过程,
5、但其过程比较复杂,期待读者简洁的证明方法,但毕竟得到了圆外切四边形的一条漂亮而简洁的性质.性质5被圆外切四边形对角线分成的四个三角形的内心连线共圆.其数学语言为:如图5,o0的外切四边形的对角线AC与BD相交于点P,若,】,C,2,,],,4分另U为APAD,JAPCD,APBC,APAB的内心,则,l,,2,厶,,4四点共圆.本想登至山顶以一览山下之美景,没想在登山的途中也能对美景一饱眼福,山顶虽未登上,但美景一样尽收眼底.真是"有心栽花花不开,无意插柳柳成阴."(收稿日期:20110618)34中.?擞,7(2011年第9期?初中版)?解
6、题研究.注意用好相似三角形中的对应高.2变式探究变式1内接矩形面积的最值问题探究例1有一块三角形土地,它的底边BC=100米,高AH=100米.某单位要修建一座底面是矩形DEFG的大楼,当这座大楼的地基面积最大时,这个矩形的长和宽各是多少?分析如图2,四边形EF-GD为矩形,则GD∥BC,AK上GD,设GF=,则AK=A日一GF:100一.由AADG~AABC,BEHFC图2A—K日n=一AH—BC'"100—100'DG=100一.S口边形D￡,G=(100一x)x:一(一50)+2500=50时,S日边形肼G最大,此时DG=100一=50
7、,即矩形长宽均为50米时地基面积最大.点评三角形形内接矩形的面积与矩形的长宽有关.借助相似三角形中边与高的关系,将矩形的长与宽联系起来,找出长与宽之间的数量关系,将面积表示成长或宽的二次函数式,进而可得到面积最大的限制条件.变式2一般到特殊的探究例3(2008年全国初中数学竞赛)如图3,面积为n一c的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中o,b,c为整数,且b不能被任何质数的平方整除,则的值等于0BEHFC图3分析设正方形DEFG的边长为,正三角形ABC的边长为m.作AH_I_BC交DG于K正三角形ABc中,A日:m,~AK=A日
8、:…由Js.1.Tm…l,m2=.由△ADG△,=器,_=■m—即旦:一,'t_'5m:(2√3—3)m,=(2一3)m=28一48,即o√—c=28,/Y一48,
