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1、从课本习题的变式探究中培养数学思维能力罗村高中李绮琴在新课标的教学屮，给我感触最深的是教师角色的转换。数学教师正从数学课堂的知识传授者，逐渐向学习活动的组织者、引导者和合作者转换，教与学向和谐统一的方向发展。数学教师不再只是习题的研究者和考试的指导者，还是善于学习、善于合作的探究者。数学教师要把握教学内容，沟通内容之间的联系，活化课本知识。数学能力的提高离不开数学解题，但题海战术只会增加学生的负担而难以培养各种思维能力，所以在数学学习中要追求“质”而非“量”，解题过程中的“变式探究”、“一题多解”不仅能提高学习兴趣，而且更能培养思维能力。一题多解对于培养学生从不同角度、不同侧面去分析问题
2、、解决问题，加深对教材和知识的理解，提高他们的学习能力是十分必要的。但一题多解的最终日的不是来展示有多少种解决问题的途径，也不是所有的题目都需要用多种方法去解决，而是要寻找一种最佳的途径，也就是说，掌握“一题多解”的最终目的是为了“一题一解”。以下是我在习题课“求椭圆的标准方程”中，实施“一题多解”，“变式探究”的具体做法：首先，我跟学生复习椭圆的标准方程，并做了如下的练习：练习一、求适合下列条件的椭圆标准方程(1)焦点在X轴上，a=6,e=-;33(2)焦点在y轴上，c=3,e=-；练习后由学生归纳出求椭圆标准方程的一般步骤：①求出a、b的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出所求标准方程
3、。接着，我选用高中数学新课标人教版A版选修1-1+46页练习第4瞬(1)小题为例:例1•求经过点P(-3,0),Q(0,2)的椭的标准方程。解法一：分析：求椭圆的标准方程一般是先定型再定量，由于焦点的位置不明确,所以要分两种情况讨论。解：(1)当焦点在X轴上时，设椭圆的标准方程为:22二+—=l(G〉b〉O)a2b2CTL討解得ra2=95=4所以所求椭圆的方程为(2)当焦点在y轴上时，(V97乂+2：=19422yX设椭圆的标准方程为”+厉TS>">°)依题意有b2解得9因为a〈b,所以方程无解。故所求椭圆的方程为•・•椭圆经过点P(—3,0)1.解得・••所求椭圆方程为和Q(0,2)
4、1廿’F=—•4亠422二+「194解法二：分析：在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设岀方程。在无法判断焦点的位置时可设mx2+ny2=l(m>0,n>0,n),而不规定m与n的大小关系，从而避免讨论焦点的位置。解：设椭圆的方程为mx'+nyJl(m>0,n〉0,m工n).解法三：分析：由题意易知，P、Q是椭圆的两个顶点，由椭圆的性质可确定a、b的值。解：依题意可知a=3,b=2.・・•长轴在x轴上，・•.焦点在x轴上xy4・・・所求的椭圆的标准方程为：y+y=l我们不难看出哪种方法最简单，最快捷。我们以后遇到同类题目时，不妨选择解法三。但这种方法只适用于“已知位于不同坐标
5、轴的两个顶点”这种情况。我们不妨把题目进行引中：变式引申：求焦点在坐标轴上，且经过4(馆,-2)和B(-2V3,1)两点的椭的标准方程。分析：很明显这时不能采用解法三，而选用解法二最好。为了说明并非所有情况都能用简捷的解法，我还选用了课本的一道习题:求适合下列条件的椭圆标准方程：长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)o分析：由于本题不能确定焦点的位置，必须分两种情况讨论。解：：(1)当焦点在X轴上时，依题意知3=3Ta=3bAb=l所以所求椭圆的方程为兰+『=]9・(2)当焦点在y轴上时，依题意知b=3Va=3b/.a二9y2x2所以所求椭圆的方程为订+&=1解题教学不仅仅是正确求解
6、，为了充分发挥解题教学发展思维，培养能力，深化智力的功能，我非常重视一题多解的探讨。从对一题多解的探讨，我们还可联想到教学中的一题多变。一题多变的主要III意图是培养学生全面地看待问题，以点带面。所以在这节习题课我还安排了这样一道题：求与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点，且离心率为』5的标准方程。解：把方程+9)“=36化成兰+疋=]1/—94依题忌c=V9—4=5c_y/~5a5a=5,b2=a2-c2=5—5=20・••所求椭圆的标准方程为将上面的题目变为：求与椭亘的标准方程。解：把方程4^+9)“=364x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为依题意c=丁9—4=V5c_y
7、/~5a5a=5,，=宀。2=52-5=20・・・所求椭圆的标准方程为2520两道题只相差一字，答案也就不同。通过这样的变换，可使学生深刻体会“相同的焦点”与“相同的焦距”这两个条件之间的联系与区别。习题的变式探究可浅可深，正因为如此，它可给不同程度的学牛提供相应探究训练的伸缩余地，对学生是一种极好的探究能力的训练，对促使学生自觉进行知识体系整理与思路方法归纳极有好处。有意识引导学生尝试进行习题的变式探究，对改革解题教学是一项极有意
