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1、课本习题变式——破镜重圆店垭中心学校刘道新原形题已知：BC为半圆的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E，求证：BE=AE解答过程证明：连结AB，完形圆O，交圆O于点G，∵点A是弧BF的中点，∴弧AB=弧AF∵BC⊥AG且BC是圆O的直径∴弧AB=弧AF=弧BG∴∠BAD=∠EBABE=AE已知：BC为半圆的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E，求证：BE=AE变式之一已知：BC为半圆的直径，F是半
2、圆上异于B、C的一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E，试比较BD与AE的大小关系，并说明道理。解答过程已知：BC为半圆的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E，试比较BD与AE的大小关系，并说明道理。解：连结AB，完形圆O，交圆O于点G，∵点A是弧BF的中点，∴弧AB=弧AF∵BC⊥AG且BC是圆O的直径∴弧AB=弧AF=弧BG∴∠BAD=∠EBABE=AE∵∆BED是直角三角形∴BE〉BD∴AE〉BD变式之二已知：BC为半圆
3、的直径，F是半圆上异于B、C的一点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E,AC交BF于点Q,弧FC、弧AB满足什么条件时，QA=QE？解答过程已知：BC为半圆的直径，F是半圆上异于B、C的一点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E,AC交BF于点Q,弧FC、弧AB满足什么条件时，QA=QE？证明∵弧FC=弧AB∴∠EBD=∠C∵∠EBD+∠BED=90º∠A+∠C=90º∴∠BED=∠A∵∠BED=∠AEQ∴∠AEQ=∠A∴QA=QE∴QA=QE时，弧FC、弧AB满足条件：弧FC=弧AB变式之三已知
4、：BC为半圆O的直径，F是弧CA的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E，r=2,BE=AE，求阴影部分的面积。解答过程已知：BC为半圆O的直径，F是弧CA的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E，BE=AE，BC=2,求阴影部分的面积。证题思路：完整圆O，因为BE=AE,以,∠EAB=∠EBA,所以,弧AF=弧BQ;直径BC⊥AQ,所以,弧AB=弧AF,因为F是弧CA的中点，所以,弧AB=弧AF=弧FC,所以,AF‖BC。则所求阴影部分的面积=扇形OAF的面积.变式之四已知：BC为半圆的直
5、径，F是弧AC的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E，BE=AE,半圆O半径r=2，求阴影部分的面积。解答过程已知：BC为半圆的直径，F是弧AC的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E，若半圆O半径r=2，求阴影部分的面积。解题思路：首先证明弧AB=弧AF=弧FC，得到∠FBC=30º，和AE=BE，和四边形ABOF是菱形，和DE:AE=1:2,和BD=1；其次，解直角三角形EBD，得到DE的长，对应求出AE的长，最后得到阴影部分的面积。变式之五如图，P为X轴正半轴上一点，半圆P交x轴于A
6、、B两点，交y轴于C点，弦AE分别交OC、CB于D、F,已知弧AC=弧CE.（1）、求证：AD=CD.（2）、若DF=1.25，tan∠ECB=0.75,求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。（3）、设M为x轴负半轴上一点，OM=0.5AE,是不是存在过点M的直线，使该直线与（2）中所得的抛物线的两个交点到y轴距离相等？若存在，求这条抛物线的解析式，若不存在，请说理由。解答过程如图，P为X轴正半轴上一点，半圆P交x轴于A、B两点，交y轴于C点，弦AE分别交OC、CB于D、F,已知弧AC=弧CE.
7、（1）、求证：AD=CD.（2）、若DF=1.25，tan∠ECB=0.75,求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。证明：①略。②∵∠ACB=90º∴∠CAE+∠CFA=90º,∠ACO+∠BCO=90º,∴∠BCO=∠CFA∴CD=DF∴AD=CD=DF=1.25,∵OD:OA=tan∠EAB=tan∠ECB=0.75∴OD=0.75OA,∵OA2+OD2=AD2∴OA2+(0.75OA)2+1.252∴OA=1OD=0.75OC=0.75+1.25=2∴A(-1,0)B(4,0)C(0,2)
8、∴抛物线的解析式:y=0.5x2+1.5x+2解答过程如图，P为X轴正半轴上一点，半圆P交x轴于A、B两点，交y轴于C点，弦AE分别交OC、CB于D、F,已知弧AC=弧CE.。（3）、设M为x轴负半轴上一点，OM=0.5AE,是不是存在过点M的直线，使该直线与（2）中所得的抛物线的两个交点到y轴距离相等？若存在，求这条抛物线的解析式，若不存在，请说理由。（3）不存在，理由：假设存在过点M的直线符合题目的条件，连接EB，∵AB＝1＋4=5，又AB为半圆直径，∴∠AEB＝900，又∵∠tanEAB=
