《计算方法》课件第七章 常微分方程数值方法

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1、第七章常微分方程数值方法（2学时）《计算方法》课程讲义课件大连海事大学计算机科学与技术学院学院内容提要§7.0引言§7.1Euler法§7.2Runge-Kutta法习题七第七章答案§7.0引言在科学技术中，常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题中的最基本形式，就是本章讨论的一阶常微分方程的初值问题。(7-1)虽然求解常微分方程初值问题已经有了一些解析方法，但是：这些解析方法只能求解某些特殊类型的方程。因而，在实际中出现的许多有价值的问题，主要还得靠数值方法来求解。返回引用所谓数值方法：不是寻求初值问题的解的解析表达式；而是

2、求出在一系列离散节点a=x0

3、故Euler法又称Euler折线法（见图7-1）。xy01图7-1Euler折线0.01解：返回引用返回节二、梯形公式或对右端的积分应用数值积分，1）若采用左矩形公式（取左端点），则会得到Euler公式（7-3），2）若采用数值积分梯形公式，则有梯形公式具有2阶精度。离散化后，就得到梯形公式及误差公式返回引用用梯形公式求解例7.1。例7.2解：由式（7-6），有返回引用返回节梯形公式比Euler公式精度高，但属于隐式公式，不利于使用计算机求解。把公式(7-3)及(7-6)联合使用，前一个提供预测值，后一个予以校正，就得到----

4、改进的Euler公式又称一次校正法。式（7-8）也可写成三、改进的Euler公式（7-8）返回引用预测值校正值用改进Euler公式计算初值问题解：计算结果如下：例7.3下面，我们给出改进Euler法的计算步骤和算法流程图计算步骤②yp=y+hf(x,y),x=x+h③输出(x,y)④如果x

5、7-2改进Euler法算法流程图N返回章返回节§7.2Runge-Kutta法一、Taylor级数法二、Runge-Kutta法的基本思想三、二阶Runge-Kutta公式四、四阶Runge-Kutta公式本节介绍在实际中经常使用的高精度的常微分方程数值解法------Runge-Kutta法，简记为R-K公式。一、Taylor级数法返回引用将y的各阶导数代入Taylor展开式，就得到:具有p阶精度的数值解公式（7-12）返回引用误差项（7-13）返回节返回引用二、Runge-Kutta法的基本思想返回引用Runge-Kutta

6、公式的一般形式是（7-15）返回引用返回节下面就m=2推导二阶Runge-Kutta公式。三、二阶Runge-Kutta公式返回引用（7-16）其中：代入式(7-16)第一式，得所以，得方程组返回引用这是含有4个未知数的、由3个方程所组成的方程组：它有无穷多组解；因而可以指定其中任意一个未知数。恰好就是我们前面所得到的改进Euler公式。返回引用又称变形的Euler公式。把系数满足式(7-19)的数值解公式，统称为二阶Runge-Kutta公式，它具有2阶精度。返回节按照上述的推导步骤，令p=m=4，通过比较复杂的推导，可以得到

7、一族具有四阶精度的Runge-Kutta公式。其中，最常用的标准四阶Runge-Kutta公式四、四阶Runge-Kutta公式由上面，可以看出：Runge-Kutta法是通过多计算f的函数值的办法，避开了Taylor级数中的f的导数计算。在这个意义上，可以说：Runge-Kutta法是Taylor级数法的一种变形，而且四阶以下的Runge-Kutta公式，其级数与阶数(精度)是一致的(即m=p)。但高于四阶的公式：其级数要大于精度的阶数，即m>p，因而工作量大大增加。因此，对于一般实际问题，四阶公式就够用了。例7.4用标准四阶

8、Runge-Kutta公式，解初值问题解：先给出解本题目的具体标准四阶R-K公式。(下页)取h=0.2,计算结果为应当注意：高阶R-K公式的推导是基于初值问题的解y(x)的Taylor展开，因而要求y(x)具有较好的光滑性。如果解y(x)的光滑性较差虽然使用高精