利用“圆”的性质巧解物理问题

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1、利用“圆”的性质巧解物理问题利用“圆”的性质巧解物理问题　高考将“应用数学工具处理物理问题”作为重点考查能力之一，要求考生能够根据题目列出物理量之间的数学模型，然后进行推导求解问题。常见的处理物理问题的方法主要有图像法、几何图形法、极值法、函数关系，以及空间的向量坐标运算方法等，在解题中，如果正确利用圆的性质，可将复杂的物理问题简单化，从而提高解题的效率。本文通过几个实例，简要说明如何利用“圆”的性质巧解物理问题。 　　一、等时圆模型求解物体运动问题 　　在竖直平面内质点从半径为R的圆上任一点位置从静止开始

2、沿光滑轨道，运动到最低点的时间都相等，与轨道的倾斜程度和长度都无关，这样的圆称为等时圆。 　　例1如图1所示，A，B，C，D，E位于同一竖直圆周上，其中AE是竖直圆的直径。AB，AC，AD都是光滑轨道。一小球从A点静止开始，分别沿AB，AC，AD轨道向下滑动，到达B、C、D点的时间分别为t1，t2，t3，证明：t1=t2=t3。 　　证明：设AC与水平方向夹角为α，圆的直径为AE=d。根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速运动，加速度a=gsinα，位移为s=dsinα，所以运动时间t2=2sa=2dsinαgs

3、inα=2dg=2Rg，依此类推可知t1=t2=t3。由此可见，物体下滑时间与倾斜程度和长度无关，只与圆的半径和重力加速度有关。沿不同轨道运动的时间都相等，且等于小球沿半径自由落体的时间。 　　将上述结论直接用于解题，往往能将题目简单化，下面利用等时圆结论求解难题。 　　例2如图2所示， 　　A、B两点在同一直线上，相距为h，B点距离地面高度为H，试在地面寻找一点P，使得物体沿着AP，BP两块光滑木板，从静止开始下滑到P点的时间相等，并求O，P之间的距离OP。 　　解析：根据上述等时圆的性质可知，当A，B位于竖

4、直同一圆周上，P点位于等时圆的最低点时，物体沿着AP，BP下滑到P点的时间相等。如图3所示，等时圆的半径为R=O1P=H+12h，则有 　　OP=R2-h22=H+h22-h22=HH+h。 　　在求解此类问题的时候，还应该思考在竖直圆上从最高点运动到最低点的时间都相等，那么在球体中的运动时间是否也会相等，虽然书本上没有，但通过题目推导出来的结论，同样也可以用来求解同类型的题目。 　　例3如图4所示， 　　圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板分别为aO，bO，cO，滑板一端固定于圆柱体底部圆心处O，一端位于圆柱体

5、侧壁。三块滑板与水平面夹角分别为30°，45°，60°，若物体分别从a，b，c处开始下滑，则有。 　　处物体最先到达O点 　　处物体最先到达O点 　　处物体最先到达O点 　　，b，c处物体同时到达O点 　　解析：三个物体虽然从同一圆柱面滑下，但a，b，c三点不在同一竖直圆内，因此，三者到达O点时间不一定不相等。设圆柱体底面半径为R，则有Rcosθ=12gt2sinθ，t2=4Rgsin2θ，因此，当θ=45°时，sin2θ最大，此时t最小。当θ=30°或θ=60°时，sin2θ相等。 　　二、利用圆的性质求解电

6、磁场问题 　　带电粒子在匀强磁场中做圆周运动是高中物理的又一大难点，也是高考的热点。带电粒子在匀强磁场中的运动问题，综合性比较强，求解此类问题离不开洛伦磁力，同样离不开圆的性质：圆的方程为x2+y2=R2，圆周上所有点到圆心的距离都相等为R，圆的两条切线夹角平分线必过圆心，圆心角大小是弦切角的2倍等。同时还要用到数学中的平面几何和解析几何知识。 　　例4如图5所示，一束粒子以速度v垂直摄入磁感应强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与射入方向的夹角为30°，求电子质量和穿透匀强磁场的时间。 　　解析

7、：由于洛伦磁力总是垂直于速度方向，题目中已知带电粒子的两个速度方向，就可以做出两速度的垂线，找出垂线的交点即为带电粒子做匀速圆周运动的圆心。 　　电子在磁场中只受洛伦磁力作用，其运动轨迹是圆弧的一部分，又因为洛伦磁力垂直于速度，即F⊥v，故圆心为电子穿入和穿出磁场时受到洛伦磁力的交点，即O点。根据圆的相关性质可知，∠COD=30°，OD为半径，则有r=dsin30°=2d，又因为r=mvBe，可得到m=2dBev，穿越时间t=T12， 　　故t=112×2πmeB=πd3v。 　　由此可见，带电粒子在匀强磁场的

8、匀速圆周运动与粒子的速率和半径无关，只与粒子本身的质量、电荷量及磁场的磁感应强度有关。求解此类问题的關键是通过入、出磁场两点的速度方向画出匀速圆周运动的轨迹，利用几何知识确定圆的圆心及半径，从而找到圆弧所对应的圆心角。再根据圆心角与圆周角的关系确定带电粒子在匀强磁场中的运动时间。 　　三、利用圆的性质求解力的合成问题 　　利用圆的半径相等的性质，可以保证在矢量方向改变时大小不变。利用同