第五章等参数单元

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1、第五章平面等参（数）单元有限元法求解过程中产生计算误差的地方主要有：1.单元计算误差主要是由于单元内假定的位移场与受载真实位移场不一致所造成。2.求解总体刚度方程时，在运算过程中引起舍入误差。解决方法：将网格剖分加密，使单元假定位移场更加逼近真实位移场，可以提高有限元法计算精度。但是，增加单元数将使总刚的阶数提高，这不仅增加贮存容量和求解机时，而且将增加舍入误差。另一种方法是提高每个单元的计算精度，采用高精度位移模式的单元。高精度的单元位移模式需要满足：1.单元形状能较好的适应复杂弹性体的边界几何形状，故应采用曲边/面单元；2.单元内的假定位移场采用高

2、阶插值多项式，以更好地逼近真实位移场。构造同时满足上面两个要求的单元模式的方法：先在局部坐标系中简单几何形状（正方形、三角形、立方体）的单元按高阶插值多项式57来构造形状函数，形成局部坐标的单元位移函数。然后通过坐标变换，将简单几何形状的母单元在总体坐标系中映射成实际网格剖分的曲边/面单元。虽然变换成的总体坐标单元位移函数比较复杂，但可以采用数值积分法计算单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵。如果在位移模式和坐标变换式中采用相同的插值函数，这种单元称为等参（数）单元。如果坐标变换节点数多于位移模式差值函数的节点数，则称为超参单元。反之，称为次参单元。57

3、4节点四边形单元离散化例题B=［(36-1)+1］×2=72单元16的最大节点差值是36-1。574节点四边形单元与3节点三边形单元混用例题利用结构对称性，取其研究57平面问题每个节点有2个自由度。3节点三边形单元的自由度是6，4节点四边形单元的自由度是8。总刚的维数是。最大半带宽B=［(8-1)+1］×2=16。57第一节平面四节点等参单元一、坐标变换与等参单元1．局部坐标系与总体坐标系边长为2的正方形单元［母单元（基本）］：在其形心处设置局部坐标系轴//12边和43边轴//14边和23边4个节点的局部坐标（，）分别是。57实际单元（子单元）设在总体

4、坐标系中有任意四边形单元，其四个节点的局部码编号为1，2，3，4。以对边中点连线作为局部坐标的和轴，其交点为原点，以对边相应的等分点连线作为和的坐标线。并使四边的方程分别为，。2.单元位移模式单元位移模式：其中待定系数α1，α2，α3，α4可由4个节点位移，，57和来确定。则上式可写成(5-1)式中形函数(5-2)上式(5-2)的形函数用通式表示为(5-3)式中和是节点的局部坐标值。57注：形函数的性质(1)(2)(3)平面4节点四边形单元的四个形函数都是坐标双线性函数。在单元内部，位移是坐标的二次函数；在单元的边界上位移是坐标的线性函数。(4)可以根

5、据形函数的性质来直接构造形函数因为形函数在节点2，3，4处的值等于零，故当选择过节点2、3的直线方程：1-ξ=0过节点3、4的直线方程：1-η=0则能够满足形函数在节点2，3，4处的值等于零57，所以设式中A是待定系数。再由在节点1处等于1，即∴带回原式，得同理可以确定形函数、和。57例1：构造如图所示3节点一维单元的形函数。解：(1)N1=？在节点2有N1=0过节点2的方程为ξ=0在节点3有N1=0过节点2的方程为ξ=1，即1-ξ=0所以令将节点1：N1=1，ξ=-1代入上式，得所以同理，有(2)N2=？在节点1有N2=0，过节点1的方程为ξ=-1，

6、即1+ξ=0在2点ξ=0N2=1在节点3有N2=0，过节点3的方程为点ξ=1，即1+ξ=0故令将节点2：N2=1，ξ=0代入上式，得所以57例2：构造如图所示8节点平面四边形单元的形函数。解：(1)N1=？令在节点1有：N1=1，∴(2)N5=？令在节点5有：N5=1，，57∴构造变阶数单元的形函数目的：同一单元的不同边界有不同数目的节点，可实现不同阶次单元之间的过渡，从而可在求解的不同区域采用不同精度的单元。例57例3：构造图示5节点四边形单元形函数。解：设节点四边形单元形函数为5节点四边形单元形函数57对于图示8节点四边形单元，其形函数可表示为如5

7、、6、7、8节点中任一个不存在，则对应的形函数为零。57例4：构造图示7节点四边形单元形函数。解：（1）N5=?23边方程12边方程41边方程设（a）节点5：代入（a）式，得（b）节点6：代入（a）式，得（c）联立（b）和（c）求解，得57∴同理（2）则57例5：构造图示8节点六面体单元形函数。解：N1=?5678面的方程3487面的方程2376面的方程故设节点1：N1=1，∴则57例6：构造图示20节点六面体单元形函数。解：（1）N1=?5678面的方程3487面的方程2376面的方程9-12-17面的方程故设节点1：N1=1，∴则57（2）N9=?

8、5678面的方程3487面的方程2376面的方程1485面的方程故设节点9：N9=1，∴则57