有限元第5章-等参数单元.ppt

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1、5等参数单元5-1等参数单元的引入三角形单元内的应力为常量，不同单元的应力互不相同，提高精度的方法：（1）减小单元尺寸；（2）提高单元插值函数的阶次。为了适应不规则边界，要求用曲边单元。基于以上原因，引入等参数单元。5-2四节点四边形等参数单元四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以x方向的位移插值函数为例）对于边界来讲，将带入上式，经简化可得上式中有三个待定系数，由所在单元的节点场变量值确定，但是不能由这个单元的这条边界的两个节点的场变量值唯一确定，因此相邻两单元在同一边界上的位移表达式并不一致，使相容性条件不能得到满足。这种情况该怎样处理？我们知道，矩

2、形单元满足相容性条件。以图示为例。它有四个节点，各条边与总体坐标轴平行。单元内任意一点的位移插值函数可以包含四个待定系数在矩形单元的任意一条边上，把该边的方程或带入上式，总可以得到或上式只含有两个未知参数，由边界上的两个节点的位移值唯一确定。可见矩形单元的特点：（1）矩形单元满足相容性条件。（2）含有一次项和常数项，故也满足收敛性条件。（3）单元插值函数含有交叉项xy，比三节点三角形单元的阶次要高。如果通过坐标变换，将任意四边形单元变换成矩形单元，只要在坐标变换中，任意四边形单元与矩形单元之间的点是一一对应的（称为坐标变换的几何相容性），而变换后的位移插值函

3、数又满足解的收敛性条件，这两条合在一起，就能保证任意四边形在原坐标系中满足解的收敛性条件。即：使四节点四边形单元满足解的收敛性的途径是（1）将四边形通过坐标变换，转化为矩形单元；（几何相容）（2）以四边形节点位移值作为矩形单元的节点位移值。（收敛性要求）以上两条结合，即可保证四节点四边形单元的几何相容性和有限元解的连续性。在建立四边形和矩形单元的坐标变换关系时应注意：四边形单元定义在总体坐标系中，而矩形单元定义在局部坐标系中。坐标系的变换是一个四边形单元到一个矩形单元的变换。矩形单元的局部坐标系，仅仅适用于每个要变换的单元。为此，首先讨论局部坐标系下的位移插

4、值函数、形状函数和收敛性条件，然后再讨论具体的坐标变换。根据前述，矩形单元四个节点的位移值，就是原四节点四边形单元的节点处的位移值。因此，局部坐标系下的矩形单元内任意一点的位移可以表示为或者将和节点坐标带入位移插值函数表达式，可得其中解上面的方程从而其中或其中写成统一的形式形函数的性质：（1）保证位移在节点连续。又因为是双线性单元，故也保证在边界连续。（2）保证单元包含刚体位移。这两条性质，保证了解的收敛性。下面讨论坐标变换。可以证明：视整体坐标系下的四节点四边形单元的节点坐标值为“位移值”，采用与矩形单元内任意一点的插值函数完全相同的插值方式，就可以满足坐

5、标变换的相容性（几何相容性），即现证明如下：从四边形到矩形的坐标变换是点点对应，并能保证相邻单元的几何相容（前面的位移插值可以看成是位移相容）。所谓几何相容，即是指总体坐标系下的两四边形单元在转换到局部坐标系下的矩形单元后：（1）相邻单元的公共节点位置重合；（2）相邻单元的公共边界不开裂，不重叠，反之亦然。关于（1）因为，所以相邻单元的公共节点位置重合；关于（2）：局部坐标系下的矩形单元边界上的或保持常数，转换到总体坐标系下后，边界为线性函数，该线性函数可以由边界上的两个节点坐标完全确定。因此，保证了相邻单元的公共边界既不开裂，也不重叠。对于矩形单元中的点也

6、可同样证明（提示：用通过矩形单元中任意点的水平或垂直的直线在总体坐标系和局部坐标系中的对应关系来证明）。我们看到：矩形单元的插值函数对于场变量和坐标变换完全一样，故称之为的等参数单元。如果两者不一样，就称为超参元或亚参元。在此不予介绍。5-3等参数单元平面问题的有限元格式前述有限元求解的七个步骤中第1~3步：形成插值函数；第4~6步：求出单元刚度矩阵，并集成求解；第7步：用已知节点位移计算应力。对于等参元，已经得到四边形四节点的等参数单元的形状函数。下面主要讨论单元刚度矩阵的形成，即上述中的4~6步。一等参数单元刚度矩阵第4步：单元应变—单元位移—节点位移的

7、关系由平面问题几何方程和位移插值函数，有第5步：单元应力—应变—节点位移的关系由平面问题的物理方程，有第6步：节点力—节点位移间的关系由虚功原理，可得节点力于节点位移间的关系式对于平面问题有其中积分区域为四节点四边形单元四条边所围成的区域。需要积分。遇到的问题：（1）不是常量，不能提到积分号外面来；（2）是基于局部坐标而建立的，而涉及。（3）上述积分区域是总体坐标系下的，不是局部坐标系下的。为了能够计算上式，可以（1）从局部坐标系向总体坐标系转换；也可以（2）从总体坐标系向局部坐标系转换。统一之后，再积分。比较方便的做法：把的积分从总体坐标系向局部坐标系转换

8、。下面讨论坐标变换。二等参数坐标变换现在的关键是（1