第一节二重积分的概念及性质教案

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1、第九章重积分第一节二重积分的概念及性质一．二重积分的概念1．引例引例1曲顶柱体的体积设有一立体的底是面上的有界闭区域，侧面是以的边界曲线为准线、母线平行于轴的柱面，顶是有二元非负连续函数所表示的曲面，如图9—1所示，这个立体称为上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。图9—1图9—2图9—3解对于平柱体的体积，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下(1)分割把区域任意划分成个小闭区域，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于轴的柱面，如图9—2所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成个小曲顶柱体。(2)近似在每

2、一个小闭区域上任取一点，以为高，为底的平顶柱体的体积近似代替第个小曲顶柱体的体积。9—32(3)求和这个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值(4)取极限将区域无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。即其中表示这个小闭区域直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间的距离）。引例2平面薄片的质量设有一平面薄片占有面上的有界闭区域，它的密度为上的连续函数，试求平面薄片的质量。解对于均匀平面薄片的质量，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下(1)分割将薄片（即区域）任意划分成个小薄片，其中表示第个小小薄片，

3、也表示它的面积，如图9—3所示。(2)近似在每一个小薄片上任取一点，以为其密度，当很小时，认为小薄片是均匀的，则近似代替第个小薄片的质量。即(3)求和这个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值9—32(4)取极限将薄片无限细分，且每个小薄片趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于薄片的质量。即其中表示这个小薄片直径中最大值的直径。2．二重积分的概念定积分与曲边梯形的面积有关。上面例子抛开其几何意义和物理意义，单纯地从数学结构角度来考虑，那就是二重积分。定义设是有界闭区域上的有界函数（1）将闭区域任意分成个小闭区域，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积。（2）在每

4、个上任取一点，作乘积（=1，2，…，）（3）并作和（4）如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作即.其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，与叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和。9—32【注意】在二重积分的定义中对闭区域的划分是任意的，若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域，设矩形闭区域的边长和，则，因此在直角坐标系中，有时也把面积元素记作，从而其中叫做直角坐标系中的面积元素。3．二重积分的几何意义若，函数在闭区

5、域上的二重积分表示为以为底面，为曲顶的曲顶柱体的体积；若，表示柱体在面的下方，二重积分是该柱体体积的相反数；若函数在闭区域上既有正的，又有负的，则二重积分表示在面的上、下方的柱体体积的代数和。4．二重积分存在性如果被积函数在积分区域上连续，那末二重积分必定存在。二．二重积分的性质性质1被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去。即性质2（线性性）有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和。即9—32推论设、为常数，则性质3（可加性）若闭区域被有限条曲线分成为有限个部分闭区域，则在上的二重积分就等于在各个部分闭区域上的二重积分的和（）。性质4若在

6、上，为的面积，则推论性质5（不等式性）若在上，，则【特别地】，则性质6（有界性）设、分别是在闭区域上的最大值和最小值，为的面积，则性质7（二重积分的中值定理）设函数在闭区域上连续，为的面积，则在上至少存在一点使得9—32第二节二重积分的计算法用定义计算二重积分是相当困难的事，而且非常麻烦，本节探讨行之有效的计算方法和技巧。一．直角坐标系中的计算方法用不等式，来表示的区域，其中函数、在区间上连续，如图9—4所示，称为—型区域；用不等式，来表示的区域，其中函数、在区间上连续，如图9—5所示，称为—型区域。注意—型或—型区域，如果经过该区域内任意一点(即不是区域边

7、界上的点)作平行于轴(或轴)的直线，且此直线交区域的边界不超过两点。图9—4图9—5图9—6图9—71．—型区域上的二重积分的计算法对—型区域9—32选为积分变量，，任取子区间。设表示过点且垂直轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，如图9—6所示，则曲顶柱体体积的微元为那么曲顶柱体体积为由图9—6知，该截面是一个以区间为底，以曲线（固定）为曲边的曲边梯形，其面积为则曲顶柱体体积为故二重积分的计算法为2．—型区域上的二重积分的计算法对—型区域如图9—7所示，选取为积分变量，则用垂直于轴的平面去截曲顶柱体，类似以上的方法可得曲顶柱体的体积故二重积分的计算法为9—3

8、2由此可得，二重积分的计算采取的方法是化为两次定积分