二重积分的概念及性质(20210325192625).docx

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1、精品文档二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域((T)上的有界函数：⑴把区域((T)任意划分成个子域(△(k=1,2,3,…，其面积记作△Hk=1,2,3,…，n);(2)在每一个子域()上任取一点■■■'"■'，作乘积丿；(3)把所有这些乘积相加，即作岀和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及■''Y''：l怎样选取，上述和数当n^+x且dtO时的极限存在，那末称此极限为函数f(x,y)在

2、区域((T)二重积分.记作:：-1即:其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)d称为被积表达式,((T)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义，我们并没有f(x,y)的限.容易看岀，当f(x,y)0时，二重积分衍)在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以((7)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积随意编辑精品文档上述就是二重积分的几何意义。如果被积函数f(x,y)在积分区域(连续上那末二重积分必定存在重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和

3、JJlag」)±尢4力］£厅二土JJ门a，R日疔sis⑺(3).如果把积分区域(b)分成两个子)与(筍，即氏b)=()+&对,那末：b)Gi)m)(4).如果在(b)上有初

4、办訂仏ff（吋）办JJf『=f1：：：狗（5箱訂;切：：伽巧y）占或

5、：'在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域（押即不是区域边界上的点）作平行于y轴（或x轴）的直线，且此直线交（（T）的边界不超过两点，那末称沿y轴（X轴））为向的正规区域如果（（T）即是沿轴方向也是沿X轴方向的正规区域，那末（（T）就称为规区域.下图所示的即为正规区域：关于累次积分上下限的取法如下所述：（1）.如果（（T）为沿由方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是（（

6、T）的下部边界曲线所对应的函数（X），积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2（x）.对x的积分下限与上限分别是（（7）的最左与最右点的横与标b.（2）.如果（7）为沿由方向的正规区域，那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是（7）的左部边界曲线所对应的函数（y），积分上限是右部边界曲线所对应的函数X2（y）.对y的积分下限与上限分别是（7）的最低与最高点的横坐标.（3）.如果（7）为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。（4）.如果（7）既不是沿轴方向的正规区域，也不是沿x轴方向的正规区域，那末总可以把它化分成几块沿y轴方向的正规区域或沿

7、x轴方向的正规区域，然后根据积分的性质即可求解积分.随意编辑精品文档例题：求二重积分，其中（（7）是由所围成的区域。解答：因为是正规区域，所以我们可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。这里我们采用前者先对y后对x积分：Tf（宀尸M如加叫代『必諾（宀討）处钗+扣％嚅极坐标系中的计算法如果二重积分的被积函数和积分区域（7）的边界方程均由极坐标的形式我们如何计算呢?下面我们给岀极坐标系中二重积分的计算公式如果极点0在（7）的外区域（7）用不等式表示;Ri（9）

8、（9）,02n,则积分公式如下础同嗣=广孑Ss町B屈。如果极点0在（7）的边界>边界方程为p=r（e1）0ew2,则积分公式如下：切QB—即EM。m1有了上面这些公式，一些在直角坐标系中不易积岀而在极坐标系中易积岀的函数，我们就可以把它转化为在极坐标系中的积分即可，反之依然。注：直角坐标与极坐标的转换公式为：x=卩匚阴已』=psind2回十屮伽例题：求T，其中(7)是圆环巨x2+y2

9、[[p2诅更4

10、J㈤0)