13.4最短路径问题

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1、13.4最短路径问题回顾最短路径问题①垂线段最短LABABLC②两点之间，线段最短探究活动1问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl探究活动1精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl探究活动1追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象

2、为一条直线．B··Al探究活动1B··Al（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？探究活动1追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．BAlC探究活动1追问1对于问题2，如何

3、将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·探究活动1追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·探究活动1作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当

4、点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C探究活动1证明：如图，在直线l上任取一点C'（与点C不重合），连接AC′，BC′，B'C'．由轴对称的性质知，BC=B'C，BC′=B'C'．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．探究活动1若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．B·lA·B′CC′证明A

5、C+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？探究活动2ABlMN如图：牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。探究活动2如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。作法：1.作点C关于直线OA的对称点点F,2.作点D关于直线OB的对称点点E,3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD

6、··CGHE探究活动2证明：在直线OA上另外任取一点G，连接各点∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上，∴GF=GC,FM=CM,同理HD=HE，ND=NE,∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FECG+GH+HD=FG+GH+HE在四边形EFGH中，∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短）即CG+GH+HD＞CM+MN+ND即CM+MN+ND最短FAOBD··CEMNGH探究活动2ABA/B/PQ最短路线：APQBlMN探究活动3（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM

7、NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）ABMNab探究活动3作法：1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A‘2.连接A’B交河对岸与点N,则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。ABMNabA′探究活动3证明：由平移的性质，得AM∥A’N且AM=A’N,MN=M'N',AM’∥A’N’,AM’=A’N’,所以A.B两地的距离:AM+MN+BN=A’N+MN+BN=A’B+MN若桥的位置建在M’N’处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AM’+M’N’+N’B=A’N’+M’N’+N’B=A’N’+N’B+MN在△A’BN

8、'中，∵A’N’+N’B＞A’B∴A’N’+N’B+MN＞A’B+MN即AM’+M’N’+N’B＞AM+MN