13.4 最短路径问题

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1、课题学习最短路径问题学.科.网.如图所示,从A地到B地有三条路可供选择,你会选走哪条路最近?你的理由是什么?学.科.网.zxxk两点之间,线段最短①②③(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知:如图,A,B在直线L的两侧,在L上求一点P,使得PA+PB最小。P连接AB,线段AB与直线L的交点P,就是所求。思考???为什么这样做就能得到最短距离呢?学.科.网.zxxk.根据:两点之间线段最短.如图,要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?P所以泵站建在点P可使输气管线最短应用ABlB/P点P的位

2、置即为所求.M作法:①作点B关于直线l的对称点B/.②连接AB/,交直线l于点P.(Ⅱ)两点在一条直线同侧已知:如图,A、B在直线L的同一侧,在L上求一点,使得PA+PB最小.为什么这样做就能得到最短距离呢?MA+MB′>PA+PB′即MA+MB′>PA+PB三角形任意两边之和大于第三边问题:如图所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短.练习请你自己动手试一试!只有A、C、B在一直线上时,才能使AC+BC最小.作点A关于直线“街道”的对称点A′,然后连接A′B,交“街道”于点

3、C,则点C就是所求的点.2.如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同侧,为了方便灌溉作物,要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B两地,问该站建在河边什么地方,可使所修的渠道最短,试在图中确定该点。作法:作点B关于直线a的对称点点C,连接AC交直线a于点D,则点D为建抽水站的位置。证明:在直线a上另外任取一点E,连接AE.CE.BE.BD,∵点B.C关于直线a对称,点D.E在直线a上,∴DB=DC,EB=EC,∴AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在△ACE中,AE+EC>AC,即AE+EC>AD+DB所以抽水站应建在河边的点

4、D处,··CDABEa1.如图,A.B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)A··B作法:1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E,2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置,MN为所建的桥。证明:由平移的性质,得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处,连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为:AC+CD+DB=AC+CD+CE

5、=AC+CE+MN,在△ACE中,∵AC+CE>AE,∴AC+CE+MN>AE+MN,即AC+CD+DB>AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处,AB两地的路程最短。A·BMNECD4.如图:C为马厩,D为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线。作法:1.作点C关于直线OA的对称点点F,2.作点D关于直线OB的对称点点E,3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H,则CG+GH+DH最短FAOBD··CEGHABA/B/PQ最短路线:APQBlMN证明:在直线OA上另

6、外任取一点G,连接…∵点F,点C关于直线OA对称,点G.M在OA上,∴GF=GC,FM=CM,同理HD=HE,ND=NE,∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四边形EFGH中,∵FG+GH+HE>FE(两点之间,线段最短),即CG+GH+HD>CM+MN+ND即CM+MN+ND最短FAOBD··CEMNGH(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.BCDE分析:当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够

7、体现在一条直线上时,三角形的周长最小(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.分别作点A关于OM,ON的对称点A′,A″;连接A′,A″,分别交OM,ON于点B、点C,则点B、点C即为所求3.某班举行晚会,桌子摆成两直条(如图中的AO,BO),AO桌面上摆满了桔子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?作法:1.作点C关于直线OA的对称点点D,2.作点C关于直线

8、OB的对称点点E,3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N,则CM+MN+CN最短AOBC..EDMNGH证明:在直线OA上另外任取一点G,连接…∵点D,点C关于直线OA对称,

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