第十讲.最大与最小.教师版

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1、第七讲：最大与最小模块一、数论中的极端思想【例1】1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？【解析】8531和7642。高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是8，7，百位分别是6，5。两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是85，另一个数的前两位是76。同理可确定十位和个位数.【巩固】两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？【解析】将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况：15=1+14，1×14=14；15=2+13，2×13=26；15=3

2、+12，3×12=36；15=4+11，4×11=44；15=5+10，5×10=50；15=6+9，6×9=54；15=7+8，7×8=56。由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。结论：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大.【巩固】两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？【解析】48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。　　所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况：　　48=1×48，1+48=49；　　48=2×24，2+24=26；　　48=3×16，3+

3、16=19；　　48=4×12，4+12=16；48=6×8，6+8=14。两个因数之和最小的是6+8=14。结论：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。【例2】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数中最大的自然数是多少？【解析】要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故10112358满足条件．如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，取1与0．【例3】有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为2003，那么这类自然数中最

4、小的是几？【解析】.最大与最小教师版page7of7一个自然数的值要最小，首先要求它的数位最小，其次要求高位的数值尽可能地小.由于各数位上的和固定为2003，要想数位最少，各位数上的和就要尽可能多地取9，而2003÷9=222……5，所以满足条件的最小自然数为：【例1】将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：123456789101112……9899100从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？【解析】要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。因为1～59中有109个数码，其中有6个9，要想左边保留6个9，必须划掉1～59中的109-6＝103（个）数码，剩下的

5、数码只有192－103=89（个），不合题意，所以左边只能保留5个9，即保留1～49中的5个9，划掉1～49中其余的84个数码。然后，在后面再划掉16个数码，尽量保留大数（见下图）：　所求最大数是9999978596061…99100。同理，要得到最小的数，左边第一个数是1，之后应尽量保留0。2～50中有90个数码，其中有5个0，划掉其余90-5=85（个）数码，然后在后面再划掉15个数码，尽量保留小数（见下图）：所求最小数是100000123406162…99100。【例2】把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？【解析】假设分成的自然数中有1，a是分成的另一个自然数，因为1

6、×a＜1+a，也就是说，将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是说，只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。如果分成的自然数中有4，因为4=2+2=2×2，所以可以将4分成两个2。由上面的分析得到，分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分成的自然

7、数中最多有两个2，其余都是3。由此得到，将17分为五个3与一个2时乘积最大，为3×3×3×3×3×2=486。结论：整数分拆的原则：不拆1，少拆2，多拆3。【巩固】把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？【解析】14拆成3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×2=162最大.【例3】某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种，为了能支付1元、2元……100元的钱数（整数元）