最大与最小专题(教师版).doc

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1、北师大二附中培训中心五年级兴趣班讲义最大与最小专题在现实生活中，日有长短之分，国有大小而论，比较大小的问题几乎无处不在。在一定条件下求最大值或最小值是数学中的一类重要问题。典型例题1．一把钥匙只能打开一个房间，现有20把钥匙和20个房间，但不知哪把钥匙开哪个房间，如要打开所有的房间，最多要开几次？解析：考虑极端情况，开第一个房间最多需20次。第二个房间19次，……，开最后一个房间需1次，共需20+19+18+…+1=210（次）2．小明去听报告，发现报告厅只有最后一排没坐满，但他无论坐在哪个位子，都会和另一听众相邻，已知每排均有19个位子，问最后一排最少坐了多

2、少个人？解析：将最后一排编号，由题意可知，没有连续3个空位，极端情形：2,5,8,11,14,17,19这几个编号坐着人，其余空着。故最少坐7人。3．用30米长的篱笆围成一个长方形花圃。（1）当长和宽各是多少时，花圃的面积最大？（2）若长方形一面靠墙，长和宽各为多少时面积最大？最大面积是多少？解析：⑴和一定时，差越小积越大，所以长宽相等时即为7.5时，S=7.5×7.5=56.25（cm2）⑵长=宽=10,S=100（cm2）4．把17分成若干个自然数的和，如何分才能使这些自然数的乘积最大？解析：拆分成2和3，若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3。因为2×

3、2×2=8，而3×3=9。所以，拆分出的自然数中，至多含有两个2，而其余都是3。5．已知1+2+3+……+n的和的个位数是3，十位数为0，百位数不为0，求n的最小值。解析：设1+2+3+...+N=abc由题意可知,b=0,c=3所以1+2+3+...N=100a+3N*(N+1)/2=100a+3N*(N+1)=200a+6两个连续的自然数相乘,个位数=6的只有自然数的个位是2和3或7和8并且百位数不为0,那这两个数应该大于10试一下12,13和17、18，17*18=306,符合条件。所以最小的N值是176．有一架天平，只有5克和30克的砝码各一个，现在要

4、把300克盐分成三等份，问最少需要用天平称多少次？解析：这题最少用天平3次就可以了。第一次：用5克和30克两个砝码称出35克盐，第二次：再用35克盐和30克砝码作为砝码称出65克盐，65+35=100（克）这样第一个100克盐就称好了，第三次：再用这100克盐作为砝码称出100克盐，则第二个100克盐也称好了，那么剩下的也是100克盐不用称了。所以最少要称三次。7．一个三位数等于它各位上数字之和的19倍，这个三位数最大是多少？最小是多少？解析：设百位数字为A，十位数字为B，个位数字为C则100A+10B+C＝19（A+B+C）81A＝9B+18C9A＝B+2C

5、最大A=9，8．如图：某位将军骑马从A地到河岸的同侧B地，途中需给马饮一次水，问在何处饮水走的路程最短？解析：A关于河流的对称点9．如图，在长方体上有一只蚂蚁要从A出发沿表面爬到B点去找食物，其中AC=4，CD=2，DE=2，B为DE的中点，问怎样爬路程最短？解析：显然在上面爬路程最短。10现有2.8米长的方木条原料，要截成1.2米、0.9米两种长度的木条做镜框（每个镜框要用长、短木条各两根）.要做30个镜框，如何下料可以最省？解析：这是个节约用料的问题，如果不精打细算就会简单地用一根原料截成长、短木条各一根，这样就需要60根原料，而这样截造成了浪费，因为每根

6、原理剩下的残料为（米），60根原料所剩下的残料则是一个很大的数字，显然这不是最佳方案。如果我们考虑用一根原料分别截取长短木条，则(1)可截1.2米木条两根，余料0.4米；(2)可截0.9米木条三根，余料0.1米，要做30个镜框，做长条需30根原料，做短条需20根原料，故需要50根即可制成30个镜框。11.有六根各长5厘米的木棍，要想把他们搭成边长为5厘米的三角形，最多可以搭成多少个这样的三角形？解析：搭成正三棱锥，故最多可搭成4个12.一个正方体，锯下一个角后，最多还剩几个角？解析：可以分成四种情况：截面过三个顶点，则还剩7个角；截面过两个顶点，则还剩8个角；

7、截面过一个顶点，则还剩9个角；截面不过任何顶点，则还剩10个角。最多剩下10个角。13.若干人的年龄为4476岁，最大的不超过79岁，最小的不低于30岁，而年龄相同的不超过3人，这些人中至少有多少为老年人？（年龄不低于60岁为老人）。解析：老年人尽量少，则青年人尽量多（每个年龄3人），这时（30﹢31﹢…＋59）×3＝89×15×3=4005（岁）4476－4005=471（岁）。6×79=474.要使人数少，则年龄尽量大，所以老年人至少有6位。14.现在要用10米长的铁条若干根来截出3米长的铁条83根和4米长的铁条32根解析：要用最少根数，则应使残料（浪费的

8、）最少。分割10米长的铁条有如下三种方