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《求由下列方程所确定的隐函数y的导数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、习题2-41.求由下列方程所确定的隐函数y的导数:(1)y2-2xy+9=0;(2)x3+y3-3axy=0;(3)xy=ex+y.;(4)y=1-xey.解(1)方程两边求导数得2yy¢-2y-2xy¢=0,于是(y-x)y¢=y,.(2)方程两边求导数得3x2+3y2y¢-2ay-3axy¢=0,于是(y2-ax)y¢=ay-x2,.(3)方程两边求导数得y+xy¢=ex+y(1+y¢),于是(x-ex+y)y¢=ex+y-y,.(4)方程两边求导数得y¢=-ey-xeyy¢,于是(1+xey)y¢=-ey,.2.求曲线在点处的切线方程和法线方程.解方程两边求导数得,于是,在点处y¢=
2、-1.所求切线方程为,即.所求法线方程为,即x-y=0.3.求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数:(1)x2-y2=1;(2)b2x2+a2y2=a2b2;(3)y=tan(x+y);(4)y=1+xey.解(1)方程两边求导数得2x-2yy¢=0,y¢=,.(2)方程两边求导数得2b2x+2a2yy¢=0,,.(3)方程两边求导数得y¢=sec2(x+y)×(1+y¢),,.(4)方程两边求导数得y¢=ey+xeyy¢,,.4.用对数求导法求下列函数的导数:(1);(2);(3);(4).解(1)两边取对数得lny=xln
3、x
4、-xln
5、1+x
6、，两边求导得,于是.(2)两边取对数得,
7、两边求导得,于是.(3)两边取对数得,两边求导得,于是(4)两边取对数得,两边求导得,于是.5.求下列参数方程所确定的函数的导数:(1);(2).解(1).(2).6.已知求当时的值.解,当时,.7.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:(1),在处;(2),在t=2处.解(1).当时,,,,所求切线方程为,即;所求法线方程为,即.(2),,.当t=2时,,,,所求切线方程为,即4x+3y-12a=0;所求法线方程为,即3x-4y+6a=0.8.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数:(1);(2);(3);(4),设f¢¢(t)存在且不为零.解(1),.(2),.(3),
8、.(4),.9.求下列参数方程所确定的函数的三阶导数:(1);(2).解(1),,.(2),,.10.落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波半径的增大率总是6m/s,问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？解设波的半径为r,对应圆面积为S,则S=pr2,两边同时对t求导得St¢=2prr¢.当t=2时,r=6×2=12,r¢t=6,故St¢
9、t=2=2×12×6p=144p(米2/秒).11.注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中,其速率为4m2/min.当水深为5m时,其表面上升的速度为多少？解水深为h时,水面半径为,水面面积为,水的体积为,,.已知h=5(m)，(m3/min
10、),因此(m/min).12.溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中,开始时漏斗中盛满了溶液,已知当溶液在漏斗中深为12cm时,其表面下降的速率为1cm/min.问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解设在t时刻漏斗在的水深为y,圆柱形筒中水深为h.于是有.由,得,代入上式得,即.两边对t求导得.当y=12时,y¢t=-1代入上式得(cm/min)..
