2013年全国高考理科数学试题分类汇编：导数

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1、2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分一、选择题．（2013年高考湖北卷（理））已知为常数,函数有两个极值点,则（　　）A．B．C．D．【答案】D．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知函数,下列结论中错误的是（　　）A．R,B．函数的图像是中心对称图形C．若是的极小值点,则在区间上单调递减D．若是的极值点,则【答案】C．（2013年高考江西卷（理））若则的大小关系为（　　）A．B．C．D．【答案】B．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））设函数（　　）A．有极大值,无极小值

2、B．有极小值,无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值【答案】D．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是（　　）A．B．是的极小值点C．是的极小值点D．是的极小值点【答案】D．（2013年高考北京卷（理））直线过抛物线的焦点且与轴垂直,则与所围成的图形的面积等于（　　）A．B．2C．D．[来源:Zxxk.Com]【答案】C．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））已知为自然对数的底数,设函数,则（　　）A．当时,在处取得极小值B．当时

3、,在处取得极大值C．当时,在处取得极小值D．当时,在处取得极大值【答案】C二、填空题．（2013年高考江西卷（理））设函数在内可导,且,则______________【答案】2．（2013年高考湖南卷（理））若_________.【答案】3．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））若曲线在点处的切线平行于轴,则______.【答案】三、解答题．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知函数.(Ⅰ)设是的极值点,求,并讨论的单调性;(Ⅱ)当时,证明.【答案】．（2013年普通高等学校招生统一考试辽

4、宁数学（理））已知函数(I)求证:(II)若恒成立,求实数取值范围.【答案】．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）本小题满分16分.设函数,,其中为实数.(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.【答案】解:(1)由即对恒成立,∴而由知<1∴由令则当<时<0,当>时>0,∵在上有最小值∴>1∴>综上所述:的取值范围为(2)证明:∵在上是单调增函数∴即对恒成立,∴而当时,>∴分三种情况:(Ⅰ)当时,>0∴f(x)在上为单调增函数∵∴f(x)存在

5、唯一零点(Ⅱ)当<0时,>0∴f(x)在上为单调增函数∵<0且>0∴f(x)存在唯一零点(Ⅲ)当0<时,,令得∵当0<<时,>0;>时,<0∴为最大值点,最大值为①当时,,,有唯一零点②当>0时,0<,有两个零点实际上,对于0<,由于<0,>0且函数在上的图像不间断∴函数在上有存在零点另外,当,>0,故在上单调增,∴在只有一个零点下面考虑在的情况,先证<0为此我们要证明:当>时,>,设,则,再设∴当>1时,>-2>0,在上是单调增函数故当>2时,>>0从而在上是单调增函数,进而当>时,>>0即当>时,>,当0<<时,即>e时,<

6、0又>0且函数在上的图像不间断,∴函数在上有存在零点,又当>时,<0故在上是单调减函数∴函数在只有一个零点综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当时,的零点个数为1;当0<<时,的零点个数为2．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））设函数(其中).(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.【答案】(Ⅰ)当时,,令,得,当变化时,的变化如下表:[来源:Z&xx&k.Com]极大值极小值右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.(Ⅱ),令,得,,令,则,所以在上递增,所以,从而,所以所以当时,;当时,;所以令

7、,则,令,则所以在上递减,而所以存在使得,且当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.因为,,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.综上,函数在上的最大值.．（2013年高考江西卷（理））已知函数,为常数且.(1)证明:函数的图像关于直线对称;(2)若满足,但,则称为函数的二阶周期点,如果有两个二阶周期点试确定的取值范围;(3)对于(2)中的和,设为函数的最大值点,,记△ABC的面积为,讨论的单调性.【答案】(1)证明:因为,有,所以函数的图像关于直线对称.(2)解:当时,有所以只有一个解,又,故0不是二阶周期点.当时,有所

8、以有解集,又当时,,故中的所有点都不是二阶周期点.当时,有所以有四个解,又,,故只有是的二阶周期点.综上所述,所求的取值范围为.(3)由(2)得,因为为函数的最大值点,所以或.当时,.求导得:,所以当时,单调递增,当时单调递减;当时,,求导得:,因,从而有,所以