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《高等数学下复旦大学出版习题十一》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题十一1．设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明：其中P(x,y)在L上连续．证：设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段，则L：，始点参数为t=b1，终点参数为t=b2故2．设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线，证明：，其中P(x,y)在L上连续．证：L：，起点参数为x=a，终点参数为x=b．故3．计算下列对坐标的曲线积分：(1)，其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a>0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)，其中L为圆周x=R
2、cost，y=Rsint上对应t从0到的一段弧；(4)，其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行)；(5)，其中Γ为曲线x=kθ，y=acosθ，z=asinθ上对应θ从0到π的一段弧；(6)，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)，其中Γ为有向闭拆线ABCA，这里A，B，C依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)，其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．解：(1)L：y=x2，x从0变到2，282(2)如图11-1所示，L=L1+L2．其中L1的参数方程为图11-1L2的方程为y=0(0≤x≤2a)
3、故(3)(4)圆周的参数方程为：x=acost，y=asint，t:0→2π．故282(5)(6)直线Γ的参数方程是t从1→0．故(7)(如图11-2所示)图11-2，x从0→1．，z从0→1282，x从0→1．故(8)4．计算，其中L是(1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；(4)曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．解：(1)L：，y：1→2，故(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3
4、y-2，y：1→2282故(3)设从点(1,1)到点(1,2)的线段为L1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L2，则L=L1+L2．且L1：，y：1→2；L2：，x：1→4；故从而(4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0，终点(4,2)对应的参数t2=1，故5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a,0)沿椭圆移动到B(0,b)，求力所做的功．282解：依题意知F=kxi+kyj，且L：，t：0→(其中k为比例系数)6．计算对坐标的曲线积分：(1)，Γ为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限；
5、(2)，Γ为x2+y2+z2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分．解:(1)Γ： 即其参数方程为： t：0→2π故：(2)如图11-3所示．282图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1： t：0→，故又根据轮换对称性知7．应用格林公式计算下列积分：(1)，其中L为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；(2)，其中L为正向星形线；(3)，其中L为抛物线2x=πy2上由点(0,0)到(,1)的一段弧；(4)，L是圆周上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)，其中m为常数，L为由点(a,0)到(
6、0,0)经过圆x2+y2=ax上半部分的路线（a为正数）．282图11-4解：(1)L所围区域D如图11-4所示，P=2x-y+4，Q=3x+5y-6，，，由格林公式得(2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x2sinx-2yex，则，．从而，由格林公式得．(3)如图11-5所示，记，，围成的区域为D．（其中=-L）图11-5P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2，由格林公式有：282故(4)L、AB、BO及D如图11-6所示．图11-6由格林公式有而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．，，即，于是从而(5)L，OA如图11-7所示
7、．图11-7282P=exsiny-my，Q=excosy-m，，由格林公式得：于是：8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线x=acos3t，y=asin3t2ex2；(2)双纽线r2=a22cos2θ；(3)圆x2+y2=2ax．解：(1)(2)利用极坐标与直角坐标的关系x=rcosθ，y=rsinθ得，从而xdy-ydx=a2cos2θdθ．于是面积为：282(3)圆x2+y2=2ax的参数方程为故9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：(1)；(2)；(3)沿在右半平面的路径；(4
