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1、习题四1.利用定义计算下列定积分：（1）解：将区间[a,b]n等分，分点为记每个小区间长度为取则得和式由定积分定义得(2)解：将区间[0,1]n等分，分点为记每个小区间长度取则和式2.用定积分的几何意义求下列积分值:；解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x轴、直线x=1、y=2x115所围成的三角形的面积，故原式=1..解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R的圆在第一象限内的面积，故原式=.3.证明下列不等式：；证明：当时，即由积分的保序性知：即(2)证明：当时，由积分的保序性知：即4.证
2、明：（1）证明：当时，于是而由夹逼准则知：(2)证明：由中值定理得其中115故5.计算下列定积分：解：原式.;解：原式,其中解：原式解：原式解：原式6.计算下列导数：115解：原式.解：原式7.求由参数式所确定的函数y对x的导数.解：8.求由方程所确定的隐函数的导数.解：方程两边对x求导，有又故.9.利用定积分概念求下列极限：解：原式解：原式10.求下列极限：解：原式115解：原式11.a,b,c取何实数值才能使成立.解：因为时，而该极限又存在，故b=0.用洛必达法则，有所以或.12.利用基本积分公式及性质求下
3、列积分：;解：原式.；解：原式=解：原式=3解：原式=;115解：原式=解：原式=解：原式=.解：原式=.解：原式=.解：原式=解：原式=;解：原式=解：原式=115解：原式=.；解：原式=.;解：原式=.;解：原式=.解：原式=13.一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x,y）处的切线斜率为2x－2，求该曲线方程.解：依题意知：两边积分，有又x=1时，y=0代入上式得c=1，故所求曲线方程为.14.（略）.15.利用换元法求下列积分：;解：原式=;解：原式=115;解：原式=;解：原式=；解：原式=;解
4、：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=.115;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=.;115解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式又故上式;115解：原式(28)解：原式,又故上式=.;解：原式,又,所以,故上式..解：原式①②①+②=t+c1②－①=ln
5、sint+cost
6、+c2故16.用分部积分法求下列不定积分：;解：原式=115;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：
7、原式=.;解：原式=;解：∴原式=;解：原式=.;115解：原式=.解：原式又所以故17.求下列不定积分：;解：原式=;解：原式=.;解：原式=115;解：原式=;解：原式=;解：原式;解：原式=;解：原式=又故原式=.18.求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：115;解：原式=验证：所以，结论成立.;解：原式=验证：所以，结论成立.;解：原式=.验证：所以，结论正确.;解：原式=验证：所以，结论正确.;115解：所以，原式=验证：故结论成立.;解：原式=验证：.故结论成立.;解：原式=验证：所以，结
8、论成立.;115解：原式=验证：所以，原式成立.;解：原式=验证：故结论成立.(n>1，且为正整数).解：故验证：故结论成立.19.求不定积分.115解：故原式=又由函数的连续性，可知：所以20.计算下列积分：;解：原式;解：原式=;解：原式=;115解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：所以，原式=.115;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式;解：原式=.解：原式=21.计算下列积分（n为正整数）：115（1）解：令,,当x=0时t=0，当x=1时t=,由第四章第五节例8知
9、(2)解：由递推公式可得22.证明下列等式：(a为正常数)；证明：左右所以，等式成立.(2)若，则.证明：左.所以，等式成立.23.利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a为正常数）(1)115解：因为[－a,a]上的奇函数，故;解：因为即被积函数为奇函数，所以原式=0.;解：因为为奇函数，故原式=.解：因为是奇函数，故原式=24.利用习题22(2)证明：,并由此计算(a为正常数)证明：由习题22(2)可知又115故等式成立.25.已知,求.解：原式=26.用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：;解
10、：原式=解：原式=(n为正整数)解：原式=;解：原式=;115解：原式=.解：原式=27.讨论下列广义积分的敛散性：;解：原式=故该广义积分当时收敛；时发散..解：原式=综上所述，当k<1时，该广义积分收敛，否则发散.28.已知，求：解：(1)原式=115解：29.已知,其中求c.解：所以.30.证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2.证明：如果，那么对于(使),
