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《高等数学下复旦大学出版习题(3)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题十1.根据二重积分性质，比较与的大小，其中：（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D表示矩形区域.解：（1）区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-1从而故有所以（2）区域D如图10-2所示.显然，当时，有.图10-2从而ln(x+y)>1故有所以2.根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）;（2）;（3）.261解：（1）因为当时，有,因而.从而故即而（σ为区域D的面积），由σ=4得.(2)因为，从而故即而所以（3）因为当时，所以故即而所以3.根据
2、二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1）（2）261解：（1）在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以（2）在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故4.设f(x，y)为连续函数，求.解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得又由于D是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当时，于是：5.画出积分区域，把化为累次积分：（1）;(2)(3)解：（1）区域D如图10-3所示，D亦可表示为.所以(2)区域D如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=
3、y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D可表示为.图10-3图10-4261所以（3）区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线与x=2的交点为（2，1），区域D可表示为图10-5所以.6.画出积分区域，改变累次积分的积分次序：（1）;(2);(3);(4);(5).解：（1）相应二重保健的积分区域为D：如图10-6所示.图10-6D亦可表示为：所以(2)相应二重积分的积分区域D：如图10-7所示.261图10-7D亦可表示为：所以(3)相应二重积分的积分区域D为：如图10-8
4、所示.图10-8D亦可看成D1与D2的和，其中D1：D2：所以.(4)相应二重积分的积分区域D为：如图10-9所示.图10-9D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中D1：D2：所以(5)相应二重积分的积分区域D由D1与D2两部分组成，其中261D1：D2：如图10-10所示.图10-10D亦可表示为：所以7.求下列立体体积：（1）旋转抛物面z=x2+y2,平面z=0与柱面x2+y2=ax所围；（2）旋转抛物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所围.解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积V=其中D：由被积函数
5、及积分区域的对称性知，V=2，其中D1为D在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得.(2)由二重积分的几何意义知，所围立体的体积其中积分区域D为xOy面上由曲线y=x2及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.图10-11D可表示为：所以2618.计算下列二重积分：（1）(2)D由抛物线y2=x,直线x=0与y=1所围；（3）D是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;(4).解：（1）(2)积分区域D如图10-12所示.图10-12D可表示为：所示(3)积分区域D如图10-13所示.261图10-1
6、3D可表示为：所以9.计算下列二次积分：解：（1）因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域D：0≤y≤1,y≤x≤，如图10-14所示。图10-14D也可表示为：0≤x≤1,x2≤y≤x.所以261(2)因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域D分为两部分，其中如图10-15所示：图10-15积分区域D亦可表示为：于是：10.在极坐标系下计算二重积分：(1)(2)D为圆=1所围成的区域；(3)D是由=4,=1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域；(4)D是由曲线=x+y所包围的闭区域。解：(1)积分区域D如图10-1
7、6所示：261图10-16D亦可采用极坐标表示为：π≤r≤2π,0≤θ≤2π所以(2)积分区域D可用极坐标表示为：0≤r≤1,0≤θ≤2π.所以：(3)积分区域D如图10-17所示.图10-17D可用极坐标表示为：0≤θ≤,1≤r≤2.所以：(4)积分区域D如图10-18所示，261图10-18D可用极坐标表示为：所以：11.将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：解：（1）积分区域D如图10-19所示.图10-19D亦可用极坐标表示为：所以：261(2)积分区域D如图10-20所示.图10-20D可用极坐标表示为：于是：(3)积
8、分区域D如图10-21所示.图10-21D也可用极坐标表示为：.于是：(4)积分区域D如图10-22所示.图10-22D可用极坐标表示为：261于是:*12.作适当坐标变换，计算下列二重积分：(1),其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在
