《2.4等比数列前n项和》导学案

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1、《2.4等比数列的前n项和》导学案【学习目标】1．掌握等比数列前n项和公式的推导方法．2．会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．【学法指导】1．推导等比数列前n项和公式的关键在于准确把握“错位相减，消除差别”的内涵．2．运用等比数列前n项和公式时，一定要注意“q＝1”与“q≠1”时必须使用不同的公式．3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．【知识链接】1.等比数列的内涵特征是什么？如何用递推公式描述？2.等比数列的通项公式是什么？3.在等比数列{an}中的条件是什么？特别地，可以等于什么？【自

2、主学习】阅读教材55—56页例题前内容，思考下列问题：（1）P55页第一自然段故事中国际象棋发明者要求的麦粒数是多少？观察这两个式子，你能想出一个方法得到国际象棋发明者发明者要求的麦粒数吗？（2）等比数列前n项和公式的推导阅读教材后，完成下面等比数列前n项和公式的推导过程．设等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，由等比数列的通项公式可将Sn写成：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①则qSn＝.②由①－②得：(1－q)Sn＝.当q≠1时，Sn＝.当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝.综上

3、所述，Sn＝当q≠1时，因为an＝a1qn－1.所以Sn可以用a1，q，an表示为Sn＝.（3）探究以下问题.探究一：当q＞1和q＜1时，分别使用哪个公式更方便？探究二：等比数列有5个相关量，即，已知其中几个量的值就可以确定其它量的值？探究三：理解等比数列前n项和与函数的关系：当时，，是关于n的函数。当时，，可以变形为，是由一个关于n的式和一个常数的和构成的，并且两者的系数互为。探究四：、、是否仍成等比数列？如果是，公比是多少？探究五　错位相减法求和问题　教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范

4、围可以拓展到一个等差数列{an}与一个等比数列{bn}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．设Sn＝＋＋＋…＋，∴Sn＝，∴Sn－Sn＝，即Sn＝＝.∴Sn＝＝.（4）等比数列前n项和公式的应用.例1．求下列等比数列前8项的和：（1）；　　　　　　（2）a1＝27，，q＜0．例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台（结果保留到个位）?【巩固训练】1．求等比数列中：（1）已知；，，求；（2）已知；，，，求；（3）

5、，，求．2．求数列的前项和．典型例题】例1　在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.小结　涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立，防止因漏掉q＝1而出错．例2　已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数．小结　本题利用了等比数列的“子数列”性质，若等比数列的项的序号成等差数列，则对应项依次成等比数列．另外，两个等式之间的除法运算体现了“整体消元”的方法技巧．跟踪训练2　在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.例3　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3

6、＋…＋nxn(x≠0)．跟踪训练3　求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．当堂检测1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于(　　)A.B.C.D.2．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是(　　)A．179B．211C．243D．2753．在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝______.4．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n＝______________.1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1

7、和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．