基于再保险和投资的随机微分博弈

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1、数学杂志Vo1．34(2014)J．ofMath．(PRC)NO．4基于再保险和投资的随机微分博弈杨鹏(西京学院基础部，陕西西安710123)摘要：本文研究了具有再保险和投资的随机微分博弈．应用线性一二次控制的理论，在指数效用和幂效用下，求得了最优再保险策略、最优投资策略、最优市场策略和值函数的显示解，推广了文『8]的结果．通过本文的研究，当市场出现最坏的情况时，可以指导保险公司选择恰当的再保险和投资策略使自身所获得的财富最大化．关键词：随机微分博弈；线性二次控制；指数效用；幂效用MR(2010)主题分类号：91A30；91B3

2、0中图分类号：0225文献标识码：A文章编号：0255．7797(2014)04—0779。081引言运用随机控制的理论研究保险公司的最优再保险和投资问题，近年来已成为精算数学的一个研究热点．文『1]首先应用随机控制理论研究了扩散风险模型的最优投资问题，得到了最优投资策略和值函数的显示解．文[2]研究了跳扩散风险模型的最优投资问题，获得了使终值财富的指数效用最大的投资策略．同时，他们还研究了破产概率的数值解，给出了破产概率的计算方法，并讨论了一些参数对最优投资策略的影响．文[3]研究了扩散风险模型的最优投资和再保险，获得了使终值

3、财富的指数效用最大的投资和再保险策略．在研究中我们发现，大多数学者只从投资者的角度出发，获得最优再保险和最优投资策略，而完全没有考虑市场对投资者的影响．我们知道，在实际中，投资者肯定会受到市场不确定性因素的影响，因此从投资者和市场两个角度同时考虑才更符合实际，该问题就是随机微分博弈．随机微分博弈属于博弈论的范畴．博弈论虽然古已有之，但文f41的发表才标志着随机微分博弈时代的真正到来．随机微分博弈假设市场是博弈的“虚拟”对手，通过投资者和市场之间的双重博弈得到最优的投资组合．它如今已成为数理金融学、管理学科的研究热点．如文【5】在

4、跳一扩散金融市场中，利用随机微分博弈论研究了风险最小化的投资组合策略问题．文[6】也利用随机微分博弈论研究了Markov调制模型下的期权估值问题．文『71研究了两个具有相关但不同投资机会的投资者之间基于随机微分博弈的最优投资问题．文f81在指数效用下研究了扩散风险模型的最优再保险和投资问题．他们通过求解最优控制问题对应的HJBI方程，得到了最优再保险、投资策略、最优市场策略和值函数的显示解．本文在文【81的基础上也研究了扩散风险模型的最优再保险和投资问题．本文和文『8]区别为收稿日期：2013．05—16接收日期：2013—09

5、．06基金项目：国家自然科学资助(11271375)；西京学院校级科研项目资助(XJ120106；XJ120109XJ130246)．作者简介：杨鹏(1983一)，男，山东临沂，讲师，主要研究方向：数理金融、风险理论．780数学杂志1．研究方法不同．本文不再是求解最优控制问题对应的HJBI方程得到最优策略，而是使用线性一二次控制理论得到最优策略．2．本文在指数效用和幂效用下，都得到了最优再保险、投资策略、最优市场策略和值函数的显示解，文[81只在指数效用下得到了最优策略和值函数的显示解．2模型和随机微分博弈问题2．1模型本文对连

6、续时间的金融市场做标准性假设：f1)允许连续交易；(2)交易中不含交易费用和税收；(3)所有资产都是无穷可分的．此外，假设所有的随机变量和随机过程都定义在完备的概率空间(Q，，P)中，且满足通常条件，也就是右连续且JF)完备．和文[9】类似的，我们假设理赔过程满足微分方程dC(t)=adt—d(t)，其中，OL>0，>0为常数，分别表示单位时间平均索赔和索赔波动率，(t)是标准布朗运动．保费以连续利率dc(t)：(1+v)adt支付，其中V>0为保险公司的安全负载．则盈余过程满足如下的微分方程dX(t)=c(t)dt—dC(t)

7、：vadt+d(t)．下面考虑比例再保险，再保险的水平为a(t)1．当0a(t)1时意味着公司分出保险，特别的当a(t)=l表示完全分保而自留额为零，而a(t)=0表示分保比例为零．a(t)<0意味着公司接受新的分保，此时保险公司充当再保险人的角色．设再保险的安全负载为叩，满足卵>．进行再保险后盈余过程变为dX(t，0(￡))=(V一~la(t))adt+(1—0(t))d(￡)．考虑一个金融市场，由两个金融资产组成，其中一个是无风险资产(债券)，时刻t的价格{JE}()，t0}满足方程dB(t)=roB(t)dt，其中r0>0

8、为无风险利率．风险资产(股票)，在时刻t时的价格f(t)，t0}满足的随机微分方程为dS(t)=S(t)[rdt+odW2(t)]，其中rr0，>0为常数，]，2()是标准布朗运动，假设(t)，W2()相互独立．保险公司除了可以进行再保险外还可以进行投资．假设7