高考数学 3.6数列综合

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1、3.6　数列的综合问题课前回顾一、知识要点与能力要求1．掌握解决数列与方程、函数、不等式、三角、解析几何等知识综合问题的解法．2．掌握数列模型应用题的解法．二、要点梳理及基础解说数列的综合应用是每年高考的必考内容之一，高考对其考查主要有以下三个方面：（1）直接考查等差与等比数列的综合应用；（2）以数列为载体，考查与函数、不等式等有关知识的综合应用；（3）以数列为工具解决实际应用问题．三、基础自测1．（2005年辽宁）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是11yxO11yxO11yxO11yxO（Ａ）　（Ｂ）（

2、Ｃ）（Ｄ）【解答】由，，得，即，故选A．2．已知数列的通项为,且对所有正整数均成立，则实　　数的取值范围是（B）　　A．　　B．　　　C．　　　D．3．如果函数满足：对于任意的实数，都有，且，　　则　　　　　　．解析：由，得，且．　　∴．4．若一次函数中为不等于１的常数，且　　设，则数列为（　B　）A．等差数列　　B．等比数列　　C．递增数列　　D．递减数列5．方程的根称为函数的不动点．若函数有唯一不动点，且，，，则　　2005　　　　．6．一个用十进制表示的正整数，它的个位数是，若，则　　　　　8　　　．7．某林厂年初有森林木材存量m3，木材以每年

3、25%的增长率生长，而每年末要砍伐固　　定的木材量m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则的值是（Ｃ）A．B．C．D．解析：一次砍伐后木材的存量为S（1+25%）－x；二次砍伐后木材存量为［S（1+25%）－x］（1+25%）－x.由题意知（）2S－x－x=S（1+50%），解得x=.8．从2005年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2011年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为___________万元．解析：存款从后向前考虑=［

4、］．课上探究题型一：数列与函数综合问题一、典型例题　　例1．设是函数的反函数图象上不同的三点，如果使成等差数列的实数有且仅有一个，求实数a的取值范围．解：由，∴．又∵成等差数列，∴，即，令，若使成等差数列的实数有且仅有一个，只需，或，即，或．∴当时，满足题意的实数有且仅有一个．例2．（10年湖南21）数列中，，是函数的极小值点．（Ⅰ）当时，求通项；（Ⅱ）是否存在，使数列是等比数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】易知令(1)故在（2）（3）二、拓展练习1．设，定义，其中n∈N*．　　（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）求．解：（

5、1）＝2，，，　　∴　　∴，∴数列｛an｝上首项为，公比为的等比数列，．（2）　　　　两式相减得：．2．（06浙江）已知函数，数列()的第一项，以后各项按如下方式取定：曲线在处的切线与经过和两点的直线平行（如图）.求证：当时，(Ⅰ)；（Ⅱ）．证明：（I）因为　　所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.（II）因为函数当时单调递增，　　而，　　所以，即因此　　又因为令则　　因为所以　　因此故三、方法归纳数列与函数综合问题一般有两种类型：（1）由于数列是特殊的函数，是定义域为正整数集或其子集，且自变量从小到大变化时函数值的序列，通项公式，递推

6、公式.依次构造数列，根据函数的性质来研究数列的性质；（2）在函数图象上选取一系列满足某一条件的点，研究这些点的横、纵坐标构成的数列．研究这些问题，都需要熟练掌握函数和数列的性质．题型二：数列与不等式综合问题一、典型例题　　例3．已知数列中，．（1）求证：；（2）求证：对于都成立；　　（3）求函数的值域（）．（1）证明：①当时，，∴．　　②假设当时，有成立，即．　　则当时，．　　∴当时，也有成立．　　∴对一切，总有成立．（2）∵，∴，即．　　，　　∴对于都成立．（3）∵，∴，∴．　　　∴函数的值域是：．例4．在数列中，．（1）求数列的通项公式；（2）若

7、对任意的整数恒成立，求实数的取值范围；（3）设数列，的前项和为，求证：．解：（1）将整理得：．所以，即．时，上式也成立，所以，．（2）若恒成立，即恒成立．整理得：．令．．因为，所以上式，即为单调递增数列，所以最小，，所以的取值范围为．（3）　所以，　　　　　．二、拓展练习3．（10年全国Ⅱ18）已知数列的前项和．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：．4．设数列满足（），前项的和，且（）．　　（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；　　（2）当时，比较与的大小；　　（3）若，，求证．解：（1）由（），得（），即（），而（），∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴

8、．（2）∵，又，∴，，又，∴，∴．（3）∵，∴，∴．三、方法归纳有关数列不等式的证明，除用证明不等式的一般方