平均方法在差分方程中应用的研究

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1、平均方法在差分方程中应用的研究黑龙江工程学院本科生毕业论文第1章绪论1.1课题背景自十八世纪以来，科学家们就在试图将牛顿的重力理论与对行星和卫星运动轨迹的观察联系起来。这时，扰动方法在微分方程中的应用变得极为重要。在研究微分方程解的过程中，人们逐渐发现了一种新的方法：平均方法?1?。这种方法早在Lagrange和Laplace将其应用到天体力学当中就已经出现了。到了上世纪三十年代，KrylovN和BogoliubovNN发表了“Theapplicationsofmethodsofnonlinearmechanicstothetheoryofstationary22oscillat

2、ions[J]”，这标志着平均方法开始被广泛的应用，并且方法本身也成为了重要的研究领域。在过去的七十多年中，对平均方法的研究取得了巨大的成就。人们利用这种方法解决了动力系统中的许多的问题。随着这种方法在更多领域中的应用，人们对它的认识也在逐渐的加深。随后，以BradLehman为代表的一些人将这种方法逐步健全，并在工程中加以全面的应用。平均方法已经成为了解决微分方程的重要手段之一。利用平均方法，主要是利用平均的思想，可以得出自治系统与非自治系统解之间的关系，利用这种关系，可以简化微分方程，并达到降低解题难度的目的。随着微分方程的发展，及对平均方法的应用逐步熟悉，BradLehma

3、n将这种方法应用到了解决延迟微分方程中。使得这一理论达到了一个新的高度。因此，无论对于纯粹的数学理论，还是对于动力系统?2?，平均方法都起着重要的作用。2003年，由张传义教授编著的“AlmostPeriodicTypeFunctionsandErgodicity”一书中，在最后一章将平均方法应用到遍历理论中。这是将平均方法作了进一步的改进和加强。这篇文章中指出：平均理论已经是应用数学的经典组成部分。由于适应性识别，适应性控制及开环路震荡控制的发展，平均理论已经在控制工程中有了新的发展。对具有x??t??f?t?,xt?形式的泛函微分方程的平均理论的研究成为新的热点。这类方程已经

4、在振动控制中得到了应用。近来，离散系统的平均理论在适应性识别中的应用得到了发展。同时，在这本书中，利用平均方法处理了遍历理论的定量和定性两个方面的问题。最后，还应用平均方法讨论了泛函微分方程及其离散情况。221黑龙江工程学院本科生毕业论文1.2动力系统的发展动力系统的研究，19世纪末期即已开端，早在1881年起的若干年里,庞加莱开始了常微分方程定性理论的研究，讨论的课题（如稳定性、周期轨道的存在及回归性等）以及所用研究方法的着眼点，即为后来所说的动力系统这一数学分支的创始。G.D.伯克霍夫从1912年起的若干年里，以三体问题为背景，扩展了动力系统的研究，包括他得出的遍历性定理。在

5、他们关心的天体力学或哈密顿系统的领域中，多年后出现了以太阳系稳定性为背景的柯尔莫哥洛夫-阿诺尔德-莫泽扭转定理。从1931年起的若干年时间里，以Α.Α.马尔可夫总结伯克霍夫理论、正式提出动力系统的抽象概念为开端,苏联学者进一步推动了动力系统理论的发展。以S.斯梅尔为首的数学家们在微分动力系统研究方面作出了重要贡献，其影响历久不衰。比如具有双曲构造的紧致不变子集到现在仍然是许多具体课题的根苗。既然高维情况下稠密性定理不再成立，这就介入了具有异常复杂性的分岔问题，但这也许更符合自然界中出现的一些“混沌”现象。近年来人们关心的洛伦茨奇异吸引子及费根鲍姆现象很有启发性，目前这方面的研究已

6、渗入到物理、化学、生物等许多科学领域中。22自然界中常出现一些随时间而演变的体系，如行星系、流体运动、物种绵续等等，这样的一些体系，如果都有数学模型的话，则它们的一个共同的最基本的数学模型是：有一个由所有可能发生的各种状态构成的集合X并有与时间t有关的动态规律?t:X?X。这样,一个状态x?X随时间t变动而成为状态?t?x?。如果X是欧几里得空间或一般地是一个拓扑空间,时间t占满区域?0,??，动态规律??t?还满足其他简单且自然的条件（见拓扑动力系统），则得一动力系统。这时，过每一点x?X有一条轨线，即集合???t?

7、t??0,???。如果X是一欧氏空间，或较广地是一光滑流形，

8、且动力系统??t?:X?X在每一x?X处对t可微，则称这系统为常微分方程组或常微系统S所产生。其逆，若X是紧致光滑流形,其上先给有一C1常微系统S则据基本的常微分方程理论，S恒产生一动力系统。这里S是C1的，即S对x连续地可微。如上所述，动力系统理论与常微分方程定性理论中所探讨的内容似无多大的区分，然而有不同的侧面，动力系统着重在抽象系统而非具体方2黑龙江工程学院本科生毕业论文22程的定性研究，其研究办法着眼于一族轨线间的相互关系，换言之，是整体性的。这整体性有些是拓扑式的，也有