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1、第24卷第4期长春师范学院学报(自然科学版)2005年10月Vol124No14JournalofChangChunTeachersCollege(NaturalScience)Oct12005差分方程在概率计算中的应用孙福杰,张金萍,王亚玲(白城师范学院数学系,吉林白城137000)[摘要]给出全概率公式,介绍差分方程的定义及解法,总结归纳出了全概率公式与差分方程之间的关系,利用差分方程简化应用全概率公式在解决某些实际问题中的复杂繁琐性。[关键词]全概率公式;差分方程;递推法;特征根[中图分类号]O21
2、1[文献标识码]A[文章编号]1008-178X(2005)04-00042051引言全概率公式是概率论中一个最基本、最常用、最重要的公式。应用全概率公式计算概率问题也是十分常见的概率问题之一。在利用全概率公式解决一些复杂问题时,解题过程和步骤相当麻烦,但其中却是有规律可寻的,即用差分方程来解决、表达这类繁琐问题。对于解差分方程,引入了递推法,并介绍另外一种方法—特征根法,进一步简化了计算过程并且可以直接求出任意的n所对应的概率Ρ(An)。2全概率公式的提出及证明在概率论中应用全概率公式计算复杂的概率是一
3、种常用且重要的方法,其依据就是把一个复杂事件分解成若干个互不相容的简单事件,然后再通过对这些简单事件的概率计算,利用条件概率公式和概率加法公式最终求出复杂事件的概率。下面给出全概率公式,并进行证明。定理:若事件组A1,A2,⋯⋯,An满足下面条件:(1)A1,A2,⋯⋯,An是两两互不相容的事件,且Ρ(Ai)>0(i=1,2,⋯⋯,n)n(2)∑P(Ai)=Ω(必然事件)i=1n则对任一事件B,有P(B)=∑Ρ(Ai)P(BAi)i=1证明:显然:B=BΩ=B(A1∪A2∪⋯⋯∪An)=BA1∪BA2∪⋯
4、⋯∪BAn由于A1,A2,⋯⋯,An两两互不相容,从而BA1,BA2,⋯⋯,BAn也两两互不相容。根据概率的有限可加性和概率乘法公式得:P(B)=P(BA1∪BA2∪⋯⋯∪BAn)=P(BA1)+P(BA2)+⋯⋯+P(BAn)=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA2)+⋯⋯+P(An)P(BAn)n=∑Ρ(Ai)P(BAi)i=13引入差分方程在概率论中,概率以及概率的计算是十分重要的内容之一。全概率公式又是概率论中的基本公[收稿日期]2005-09-01[作者简介]孙福杰(1961-),女,吉林
5、白城人,白城师范学院数学系副教授,从事概率论与数理统计研究。·4·式,在概率的计算中占据举足轻重的地位。利用全概率公式列出差分方程,通过解差分方程来求得概率是一种非常简捷的变通方法,从而简化了应用全概率公式求解某些概率问题的复杂繁琐性。解差分方程一般通过逐次递推,最后由初值得出差分方程的解,进而也就求得了问题的结果,这就是上面所提到的用递推法解差分方程。一阶差分方程递推公式:n-12n-11-cPn=cPn-1+d=c(cPn-2+d)+d=cPn-2+(c+1)d=⋯⋯=cP1+d(3)1-c下面用数学
6、归纳法证明上式:(1)假设P1=p已知,当n=2时,P2=cP1+dn-1n-11-c而cP1+d=cP1+d从而当n=2时上式成立。1-ck-1k-11-c(2)假设当n=k时,递推关系式Pk=cPk-1+d=cP1+d成立。1-ck-1kk-11-ck1-c则Pk+1=cPk+d=c(cP1+d)+d=cP1+d成立。1-c1-c即当n=k+1时,递推关系式也成立。n-1n-11-c综上所述,不论n取何值Pn=cPn-1+d=cP1+d都成立。1-c上面研究的是有关一阶差分方程的推导、得出及证明,下面
7、介绍在一阶差分方程的基础上进行拓展的n阶差分方程,并介绍另外一种解差分方程的方法:特征根法。定义:含有自变量t和两个或两个以上的函数值yt,yt+1⋯⋯的函数方程称为差分方程。定义:n阶差分方程的一般形式为:F(t,yt,yt+1⋯⋯yt+n)=0。其中F(t,yt,yt+1⋯⋯yt+n)为t和yt,yt+1⋯⋯yt+n的已知函数。形如yt+n+a1yt+n-1+⋯⋯+anyt=f(t)(1)称为n阶常系数非齐次线性差分方程。特别地,方程yt+n+a1yt+n-1+⋯⋯+anyt=0(2)称为n阶常系数齐
8、次线性差分方程。差分方程与微分方程类似,它们的解分为两部分:特解和通解。通解中含有任意常数,特解是方程满足一定条件所得出的解,方程(1)的通解是方程(2)的通解再加上方程(1)的一个特解。对于二阶常系数(非)齐次线性方程的求解,可引入微分方程中特征方程求特征根的方法,求得齐次方程的通解,然后利用试根的方法求出非齐次方程的特解,最后通解与特解的代数相加即为所研究的二阶常系数非齐次差分方程的解。4实际应用例1甲袋中有9只白球和1只
