2005考研数学二真题

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1、东方教育在线www.edueast.com.cn2005年数学二试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设，则=.【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】方法一：=，于是，从而=方法二：两边取对数，，对x求导，得，于是，故=【评注】幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.55【例2.15】（2）曲线的斜渐近线方程为.【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可

2、.【详解】因为a=，于是所求斜渐近线方程为【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当时，极限不存在，则应进一步讨论或的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑的情形.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例7.32】15东方教育在线www.edueast.com.cn（3）.【分析】作三角代换求积分即可.【详解】令，则=【评注】本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.130【例4.54】（4）微分方

3、程满足的解为.【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式：，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为，于是通解为=，由得C=0，故所求解为【评注】本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外，本题也可如下求解：原方程可化为，即，两边积分得，再代入初始条件即可得所求解为完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.154（5）当时，与15东方教育在线www.edueast.com.cn是等价无穷小，则k=.【分析】题设相当于已知，由此确定k即可.【详解】由题设，==，得【评注】无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.完全类似例题见《数学复习

4、指南》（理工类）P.38【例1.62~63】（6）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么2.【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有=，于是有【评注】本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若，，15东方教育在线www.edueast.com.cn，则有完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.356【例1.5】二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数，则f(x)在内(A)处处

5、可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[C]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当时，；当时，；当时，即可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).【评注】本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.56【例2.20】（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.[A]【分析】本题可直

6、接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即，也即15东方教育在线www.edueast.com.cn，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=,排除(D);故应选(A).【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系？完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.10【例1.5~

7、1.7】（9）设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A).(B).(C).(D).[A]【分析】先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解】当x=3时，有，得（舍去，此时y无意义），于是，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：，令y=0,得其与x轴交点的横坐标为：,故应(A).【评注】注意本