2005考研数学二真题

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1、东方教育在线www.edueast.com.cn2005年数学二试题分析、详解和评注一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)设,则=.【分析】本题属基本题型,幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】方法一:=,于是,从而=方法二:两边取对数,,对x求导,得,于是,故=【评注】幂指函数的求导问题,既不能单纯作为指数函数对待,也不能单纯作为幂函数,而直接运用相应的求导公式.完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.55【例2.15】(

2、2)曲线的斜渐近线方程为.【分析】本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=,于是所求斜渐近线方程为【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。这里应注意两点:1)当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线;2)若当时,极限不存在,则应进一步讨论或的情形,即在右或左侧是否存在斜渐近线,本题定义域为x>0,所以只考虑的情形.完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.192【例7.32】15东方教育在线www.edueast.com.cn(3).【分析】作三角代换

3、求积分即可.【详解】令,则=【评注】本题为广义积分,但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等.完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.130【例4.54】(4)微分方程满足的解为.【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式:,再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为,于是通解为=,由得C=0,故所求解为【评注】本题虽属基本题型,但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外,本题也可如下求解:原方程可化为,即,两边积分得,再代入初始条件即可得所求解为完全类似公式见《数学复习指南》(理工类)P.154(5)

4、当时,与15东方教育在线www.edueast.com.cn是等价无穷小,则k=.【分析】题设相当于已知,由此确定k即可.【详解】由题设,==,得【评注】无穷小量比较问题是历年考查较多的部分,本质上,这类问题均转化为极限的计算.完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.38【例1.62~63】(6)设均为3维列向量,记矩阵,,如果,那么2.【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设,有=,于是有【评注】本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示,关

5、键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地,若,,15东方教育在线www.edueast.com.cn,则有完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.356【例1.5】二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数,则f(x)在内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[C]【分析】先求出f(x)的表达式,再讨论其可导情形.【详解】当时,;当时,;当时,即可见f(x)

6、仅在x=时不可导,故应选(C).【评注】本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点.完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.56【例2.20】(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,表示“M的充分必要条件是N”,则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.[A]【分析】本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一:任一原函数可表示为,且当F(

7、x)为偶函数时,有,于是,即,也即15东方教育在线www.edueast.com.cn,可见f(x)为奇函数;反过来,若f(x)为奇函数,则为偶函数,从而为偶函数,可见(A)为正确选项.方法二:令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=,排除(D);故应选(A).【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系?完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.10【例1.5~1.7】(9

8、)设函数y=y(x)由参数方程确定,则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A).(B).(C).(D).[A]【分析】先由x=3确定t的取值,进而求出在此点的导数及相应的法线方程,从而可得所需的横坐标.【详解】当x=3时,有,得(舍去,此时y无意义),于是,可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为:,令y=0,得其与x轴交点的横坐标为:,故应(A).【评注】注意本

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