2008—2017年全国初中数学竞赛试题含答案

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1、“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x，y满足：－＝3，y4＋y2＝3，则＋y4的值为（　　）（A）7（B）（C）（D）52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y＝

2、x2＋mx＋n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（　　）（A）（B）（C）（D）3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有（　　）（A）6条（B）8条（C）10条（D）124．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1．以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（　　）（A）a（B）1（C）（D）a5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法

3、有（　　）（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v＝uv＋v．若关于x的方程x*（a*x）＝－有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是_______．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟．8．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为

4、______．9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为______．10．关于x，y的方程x2＋y2＝208(x－y)的所有正整数解为________．三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）6811．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？13．是

5、否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．68简答：一．选择题ACBBD；二．填空题6.a＞0或a＜－1；7.4；8.9；9.；10.x＝48，x＝160，y＝32；y＝32．三．解答题：11.（1）k＝，b＞2；（2）当b＝2＋，k＝－1时，△OAB面积的最小值为7＋2；12.存在满足题设条件的质数p，q.当p＝2，q＝5时，方程2x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝2.它们都是有理数；13.存

6、在满足条件的三角形.△ABC的边a＝6，b＝4，c＝5，且∠A＝2∠B，证明略.14.n的最小值是5，证明略．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a，b满足，则等于（）．（A）－1（B）0（C）1（D）2【答】C．解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1．2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上

7、的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．68（第2题）（A）（B）（C）1（D）2【答】A．解：因为△BOC∽△ABC，所以，即，所以，．由，解得．3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）．（A）（B）（C）（D）【答】D．解：当时，方程组无解．当时，方程组的解为由已知，得即或由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得共有5×2＝10种情况；或共3种情况．又掷两次骰子出