2008年全国初中数学竞赛试题和答案

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中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1～56～1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分）1．已知实数满足，则的值为（）．（A）7（B）（C）（D）52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）．（A）（B）（C）（D）3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有()．（A）6条（B）8条（C）10条（D）12条4．已知是半径为1的圆的一条弦，且．以为一边在圆内作正△，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（）．（A）（B）1（C）（D）a第13页共13页 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．（第8题5数，段成比例，所以）8．如图，在△中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为．9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为．10．关于x，y的方程的所有正整数解为．三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．第13页共13页 12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．第13页共13页 14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．第13页共13页 中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案题号一二三总分1～56～1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分）1．已知实数满足，则的值为（）．（A）7（B）（C）（D）5【答】（A）解：因为，≥0，由已知条件得，，所以7．2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）．（A）（B）（C）（D）第13页共13页 【答】（C）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数.由题意知＝＞0，即＞4.通过枚举知，满足条件的有17对.故.3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有()．（A）6条（B）8条（C）10条（D）12条【答】（B）（第3题）解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．（第4题）4．已知是半径为1的圆的一条弦，且．以为一边在圆内作正△，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（）．（A）（B）1（C）（D）a【答】（B）解：如图，连接OE，OA，OB．设，则．又因为，所以≌，于是．第13页共13页 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种【答】（D）解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果（1≤i≤3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是．【答】，或．解：由，得，依题意有解得，，或．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米．第13页共13页 每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则．①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则．　②由①，②可得，所以．（第8题5数，段成比例，所以）即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为．【答】9．（第8题答案5数，段成比例，所以）解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB．又，所以，所以．因此9．9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为．【答】．（第9题答案5数，段成比例，所以）解：如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为，则，　　所以．第13页共13页 因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此，所以，故．10．关于x，y的方程的所有正整数解为．【答】解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．设，则，同上可知，a，b都是偶数．设，则，所以，c，d都是偶数．设，则，于是＝，其中s，t都是偶数．所以≤．所以可能为1，3，5，7，9，进而为337，329，313，289，257，故只能是＝289，从而＝7．于是因此第13页共13页 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．解：（1）令，得；令，得．所以A，B两点的坐标分别为，于是，△OAB的面积为．由题意，有　　，解得，．………………5分（2）由（1）知　≥，当且仅当时，有，即当，时，不等式中的等号成立．所以，△ABC面积的最小值为．………………15分12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令，其中n是一个非负整数．则．………………5分第13页共13页 由于1≤≤q+n，且与同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：消去n，解得．………………10分对于第1，3种情形，，从而q＝5；对于第2，5种情形，，从而q＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．又当，q＝5时，方程为，它的根为，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数………………15分13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．解：存在满足条件的三角形．当△ABC的三边长分别为，，时，．………………5分如图，当时，延长BA至点D，使．连接CD，则△为等腰三角形．因为为△的一个外角，所以．由已知，，所以．所以△为等腰三角形．又为△与△的一个公共角，有△∽△，于是（第13（A）题答案5数，段成比例，所以），即，　　所以．而，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．………………15分说明：满足条件的三角形是唯一的．第13页共13页 若，可得．有如下三种情形：（i）当时，设，，（为大于1的正整数），代入，得，解得，有，，；（ⅱ）当时，设，，（为大于1的正整数），代入，得，解得，有，，，此时不能构成三角形；（ⅲ）当时，设，，（为大于1的正整数），代入，得，即，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．解：当n＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．……………5分当n＝5时，设是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是中必定有一个数是5．若中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10），故含6；于是不含3（3＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．若中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20），故含4；于是不含7（7＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．综上所述，n的最小值为5．………………15分第13页共13页 第13页共13页