高等数学重难点及教学建议

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1、高等数学重难点及教学建议于大光第一章函数极限连续一、基本要求1.深刻理解函数的定义，会求简单函数的定义域，会用函数的对应法则求函数值与复合函数，了解初等函数的构成，会建立简单应用问题的函数关系式，了解隐函数和反函数的概念，了解函数的有界性单调性、奇偶性、周期性。2.理解数列极限的“”定义和几何意义，知道收敛数列极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性，掌握极限运算法则，会用极限存在二法则（夹逼、单调有界）。理解函数极限、左右极限的“”定义和“”定义，知道函数极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函

2、数的有界性、保号性，掌握极限存在二准则，掌握利用两个重要极限求函数极限的方法。3.理解无穷小与无穷大的概念、关系和运算，知道无穷小的比较，掌握利用等价无穷小求极限和近似计算的方法。4.理解函数连续和左右连续的概念，了解连续函数和差积商、复合和初等函数的连续性，会判断间断点类型，理解闭区间上连续函数的性质（有界、最值、介值、零点）并会应用这些性质。二、难点复合函数复合过程的分析，利用两个重要极限和等价无穷小代换求函数极限，函数间断点的求法及间断点类型的判断，闭区间上连续函数的应用。三、重点与注记函数的定义及函数的简单性态

3、，复合函数的概念和复合函数定义域的求法，极限的概念和性质，两个重要极限，函数极限的求法，无穷小的概念和无穷小的比较，函数的连续的概念，初等函数的连续性，间断点的求法及间断点类型的判断，闭区间上连续函数的性质及应用。１、函数概念的核心是函数的两要素，只有当其定义域和对应法则完全相同时，两个函数才表示同一个函数。根据实际问题建立的函数，其定义域是使自变量具有实际意义的实数集合；由解析式表示的函数，其定义域是使运算有定义的实数集合。2、在讨论函数奇偶性时一定要注意它们对函数定义域的要求。函数的奇偶性是相对于对称区间而说的，若

4、函数的定义域不对称，则该函数一定不是奇函数或偶函数。判断函数的奇偶性主要是根据奇、偶函数的定义，有时也利用奇偶性的相关性质。是判断为奇函数的有效方法。3、函数和其反函数的图形关于直线是对称的，的定义域是其反函数的值域。另外需要注意，只有自变量与因变量一一对应的函数才有反函数。求反函数的步骤是：首先从方程中解出，得到，然后将和对调，即得该函数的反函数。4、在讨论复合函数时，要注意进行复合和分解时函数的定义域。将两个或两个以上函数进行复合的方法主要有：（1）代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数表达式替代，适用于初等函数

5、的复合；（2）分析法：根据最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式和定义域进行分析，从而得出复合函数，适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。5、在求函数极限时，要注意有时需要分别讨论其左、右极限。对一些的极限，应该注意分别考虑和两种情况。6、在求幂指函数的极限时，可以考虑将其先取对数再求极限，当函数呈“”型不定式时，也可以将其化成或的形式，或凑指数幂使之成为上述形式，然后利用第二个重要极限求解。7、求函数极限的一个值得推荐的方法是利用等价无穷小替换，有时可使解题过程大大简化，这时要注意进行等价无穷小替换

6、的原则是，只有作为因子的无穷小量才能用与其等价的无穷小替换，而作为加、减项的无穷小则不能用等价无穷小随意替换。8、在讨论函数连续性时，常见两种情况：（1）在点处的两侧表达式不同，此时函数在点连续的充分必要条件是；（2）在点处的两侧为同一表达式，此时函数在点连续的充分必要条件是。9、讨论带绝对值符号的函数的极限或连续性时，一般先去掉绝对值符号，将函数改成分段函数，然后再讨论在分段点处函数的左、右极限或左、右连续性。10、在求函数的间断点时，需要注意，只有在可去间断点处才可以修改或补充函数在这一点的定义，使得函数在该点连续

7、。四、内容分析与教学建议本章内容包括三个部分，函数、极限与连续。极限知识是微积分学的基础，也是研究导数、各种积分、级数等内容的基本工具，既是教学的重点、又是难点。在教学上，注意由浅入深，由直观到抽象，多用实例和图形作解释，逐步建立极限概念，总结求极限的规律和培养学生利用极限定义进行逻辑推理与抽象思维的能力。（一）函数1、高数课往往是新入学的学生首先接触到的基础课，因此可简要介绍高等数学的主要内容，以及与初等数学的区别，大学的学习方法等等。2、函数知识是中学函数内容的复习和补充。中学里已经比较熟悉的内容略讲或让学生自学，

8、中学里介绍较少的内容如分段函数、反三角函数、复合函数、邻域应详细讲解。3、函数概念应突出两个要素，对函数符号的意义和用法应有足够说明，从而使学生能正确理解函数的概念，讨论函数的有关性质。另外，由于高等数学主要研究对象是函数，因此开始注意培养学生列出实际问题中函数关系的能力。（二）数列极限1、建立极限概念时，先从直观易的实例入手，建