平面向量三点共线定理的推论及空间推广

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1、平面向量三点共线定理的推论及空间推广一．问题的来源平面向量三点共线定理:对于共面向量,，则、、三点共线的充要条件是．二．问题的提出问题1.在上述定理中，如果、时，分别有什么结论？问题2.、有什么特定的意义吗？问题3.上述问题可以推广到空间吗？三．问题的解决推论1.对于不共线向量,若，则(1)点在直线外侧(不含点一侧)的充要条件是．(2)点在直线内侧(含点一侧)的充要条件是．证明：(1)必要性：如图1-1，连OC交AB于点，则存在实数，使得，，，，．充分性：，存在，使得且．，在直线上，在直线外侧．同理可证(2)．推论.对于不共线向量,若，则(1)连接得直线，过点作平行于的直线，则、将平面分成三

2、个区域，如图1-2点落在各区域时，、满足的条件是：(Ⅰ)区：；(Ⅱ)区：；(Ⅲ)区：．特别地，当点落在上时，；当点落在上时，．(2)直线、将平面分成四个区域，如图1-3，则点落在各区域时，、满足的条件是：(Ⅰ)区：；(Ⅱ)区：；(Ⅲ)区：；(Ⅳ)区：．推论2.若,,则,且当,则点在线段上；当，则点在线段的延长线上；当，则点在线段的延长线上．5证明：且，，，。当时，与同向，如图2-1所示，则点在线段上；当时，与反向，且，如图2-2所示，则点在线段的延长线上；当时，与反向，且，如图2-3所示，则点在线段的延长线上．推论3.点是所在平面上且与不重合的一点，若，则，，．证明：只证的情形，其它情形可类

3、似证明．由得，，存在点使得，且，，，如图3，，同理有，，命题得证．将以上结论拓展到空间，得：推论4.对于不共面的向量,若，则：(1)若，则点在平面上(空间向量基本定理)；(2)若，则点在平面的外侧(不含点O一侧)；(3)若，则点在平面的内侧(含点O一侧)．推论5.对于不共面的向量，若，则(1)，，；(2)；(3)，，．5证明：(1)，，由推论3知结论成立．(2)由(1)得证．(3)，同理可证，．推论6.已知四面体及与其顶点不重合的点，若，则．证明：只证的情形，其它情形可类似证明．由，得，令，则四点共面，由推论5，，又，如图4，知，，同理可证，，，命题得证．四．结论的应用1．如图，∥，点在由射

4、线，线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且，则的取值范围是；当时，的取值范围是．解析：由推论1及推论，有，且当，有，即．答案为：，(，)．2．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若其中,则的最大值是________．解析：由推论3，，，设，，，5，此时3．如图，在中，，，则=．解析：，由推论2，得，．答案：．4．如图，下列向量若以为起点，终点落在阴影区域内(含边界)的是.①；②；③；④；⑤．解析：由推论1及推论知的系数满足，适合的只有②．答案为②．5．设点在外,且,则=．解析：由推论3，可知=．5.设点是内一点(不包括边界)，且，则的取

5、值范围是.解析：由推论1及推论知满足，表示点()到的距离的平方，由线性规化知识可得所求的范围为．6．已知点与四面体，且，则．解析：由推论5，，可知．7．若点与四面体，且，则=.解析：由推论6，可知.8．已知点是四面体内一点(不包括边界)，且，则点满足的概率是.解析：因为点在四面体内(不包括边界)，由推论4知满足，如图建立空间直角坐标系，5表示三棱锥内部的区域，而表示以点为圆心，半径为的球体在正方体内部的区域，故所求概率为．5