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1、分类号O29编号2013010105毕业论文题目n次单位根的性质及其应用原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：年月日论文指导教师签名：年月日目录摘要1Abstract11n次单位根的定义22n次单位根的性质23n次单位根的应用43.1n次单位根在中学数学竞赛中的应用4
2、3.2巧用n次单位根分解53.3n次单位根在几何中的应用73.4n次单位根在多项式整除中的应用83.5n次单位根在三角函数中的应用94总结10参考文献11致谢12数学与统计学院2009届毕业论文n次单位根的性质及其应用崔文强(天水师范学院数学与统计学院甘肃天水741001)摘要:n次单位根是复变函数论中的重要内容,本文主要论述了n次单位根的性质,n次单位根性质证明.通过例题分析讲解n次单位根在因式分解、尺规作图、三角函数、多项式整除中的应用,说明n次单位根可拓宽解题思路,是一种方便快捷的解题方法,为初中的数学教
3、学提供指导.关键词:单位根;因式分解;性质;几何画图中图分类号:O29ThePropertyandApplicationofnthUnitRootCUIWen-qiang(SchoolofMathematicsandStatistics,TianshuiNormalUniversity,TianshuiGansu,741001,China) Abstract:Thenthunitrootistheimportantcontentofcomplexvariablefunction.Thepapermainlydi
4、scussestheporpertyofnthunitrootbyanalysingandexplainingexamples.Thenthunitrootiswidelyappliedtofactorization,geometricalconstruction,triqonmeticfunction,andploymerizationdivideexactly,whichtellsthatnthunitrootcanbroadenthesolutionsofsolvemathquestions.Thus,t
5、henthunitrootisaconvenientandrapidwayofsolvingthequestionsandprovidessomereferentialinstructionsformathteachinginJuniorMiddleschool.Keywords:unitroot;factorization;property;geometrical2数学与统计学院2013届毕业论文1次单位根的定义定义一在复数域上的n个值;k=0,1,2，…，n-1就是多项式的n个根,称它们为n次单位根.定义二
6、在复数域上的n个值,k=0,1,2，…，n-1就是多项式的n个根，称它们为n次单位根.2n次单位根的性质（1）证明由定义一得=1（2）令,则,k=1,2,…,n-1证明由欧拉公式,知即,k=1,2,…,n-1（3）=证明由定义二知===（4）对于每个单位根证明因为=,令,则10数学与统计学院2013届毕业论文原式可变为,=当时,，所以（5）对于每个单位根:（当n整除m时）（当n不整除m时）证明由于为n次单位根则当n整除m时,令m=nq,则===1同理==1故=1+1+…+1=n当n不整除m时，≠1,由知：===
7、0（6）两个n次单位根的乘积与商仍是n次单位根证明令、是n此单位根,则·=1==1命题得证.（7）证明由定义二,得10数学与统计学院2013届毕业论文===即·=（8）=（0＜k＜n）证明因为==则======3n次单位根的应用3.1n次单位根在中学数学竞赛中的应用例1(2001年全国高中数学联赛)若的展开式为，求的值.解令=在=中,令x=1,ξ(ξ是三次单位根,ξ≠0）则10数学与统计学院2013届毕业论文⑴=即⑵在⑵中、按实﹑虚部分别展开,并由复数相等可得⑶⑷则由⑴、⑶、⑷得=÷3故+++…+=例2（197
8、8年我国八省市中学数学竞赛）设,求以为根的方程.解由于,所以则为1的10个10次单位根,所以⑴又是1的5个5次方根，则⑵由⑴÷⑵,得又所以,即所求方程为,3.2巧用n次单位根分解例对因式分解.10数学与统计学院2013届毕业论文解如果在复数范围内我们可以十五个分解为一次因式的乘积：即其中而是方程即的所有复数根.如果将的十五个一次因式分成几个不同组,使它们的乘积为有理系数的多项式.的所有
