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1、第19卷第5期洛阳师范学院学报2000年10月Vol.19No.5JournalofLuoyangTeachersCollegeOct.2000三次单位根的应用12李长坡,闫敏(11舞钢市教师进修学校,河南舞钢462500;21洛轴集团公司第一中学,河南洛阳471003)摘要:本文通过几个例子介绍了三次单位根在复数计算、证明与多项式整除中的应用.关键词:三次单位根;复数;应用中图分类号:O122文献标识码:A文章编号:1009-4970(2000)05-0017-02TheApplicationoftheTripleRoot12LIChang-
2、bo,YANMin(11WugangTeachersTrainingSchool,Wugang462500,China;21No.1MiddleSchoolofLuoyangBearingGroupCo.Luyang471003,China)Abstract:Thispaper,byexamples,introducestheapplicationoftriplerootinthecalculationandproofofcomplexnumber,andexactdivisioninmultinomial.Keywords:tripleroo
3、t;complexnumber;application23复数1的三次方根叫做三次单位根.它们(1)若A=X,B=X,且X=1,是:2000200020002200036662_A+B=X+(X)=(X)#X40001313+X1,-+i,--i.2222=X2+(X3)1333#X=X2+X=1313X+X=-1.记X=-+i,X=--i.2222(2)设x=X321X的性质^X=1且1+X+X=0,15141xx11)
4、X
5、=1,
6、X
7、=1._x+14=+15=+X=X+XxxxX332)X=1,X=1.=-1.3k3k+13k+223)X
8、=1,X=X,X=X;例2计算(-i-3)8+(1+3i)8.3k3k+13k+22X=1,X=X,X=X.解:原式=224)X=X,X=X.88-1+3i-1-3i5)1+X+X2=0,1+X+X2=0.2i#+(-2)#226)X+X=-1,X@X=1.=(2i)8X8+28(X2)8=256(X8+X16)=256若能在解答过程中灵活地运用X的性质,则(X2+X)往往会获得较简捷的解答.=256(X+X)=-256.3693L-32在复数计算题中的应用例3计算1+Cn+Cn+Cn+,+Cn+3LCn的值.其中3L是不大于n的最大的3的倍2
9、例1设方程x+x+1=0的两根为A和B,数.20002000141n012233求:(1)A+B;(2)x+14.解:^(1+x)=Cn+Cnx+Cnx+Cnx+xnn2,+Cnx分别令x=1,X,X,然后相加,得-1?3i解:由求根公式得A,B分别为.3C02)C12+X2+(X2)2]C22n+(1+X+Xn+[1n收稿日期:2000-05-15作者简介:李长坡(1966-),男,河南泌阳人,讲师1#18#洛阳师范学院学报2000年33233nn2n2+[1+X+(X)]Cn+,+[1+X+(X)]_a为X或X.n2Cn当a=X时,注意到(
10、x+1)+X(x+X)+Xnn2n(x+X2)=0.=(1+1)+(1+X)+(1+X),0363Ln_(x+1)3+(x+X)3+(x+X2)3-3(x3+_3Cn+3Cn+3Cn+,+3Cn=2+(-X2)n+(-X)n.1)0363L=(x+1)3+(x+X)3+(x+X2)3-3(x+即Cn+Cn+Cn+,+Cn21n2nn1)(x-x+1)=[2+(-X)+(-X)]33233=(x+1)+(x+X)+(x+X)-3(x+n1nPP1)(x+X)(x+X2)=2+cos+isin3332n=[3x+(1+X+X)][(x+1)+(x+
11、X)PP+cos-+isin-X+(x+X2)X2][(x+1)(x+X)X2+3321nnP(x+X)X]=2+2cos.33=(3x+0)#0#[(x+1)+(x+X)X2+(x23在证明中的应用+X)X]=02当a取X时,也有类似结论.例4设1的立方虚根是X,证明故,原等式成立.245(1-X)(1-X)(1-X)(1-X)=9.2证明:左边=(1-X)(1-X)(1-X)(1-4在多项式整除性中的应用2X)例7证明:如果n是自然数,那么多项式222=(1-X)(1-X)=(1-2X+2n+1n+22(x+1)+x可被x+x+1整除.22
12、4X)(1-2X+X)2n+1n+2证明:令f(x)=(x+1)+x,则2=[(1+X+X)-3X][(1+X+2n+1n+222n+1f(X)=(X
