数列递推关系的研究

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1、数列递推关系的研究对数列递推关系的考查，是高考试题中的常见题型，大致从以下几个角度考查：一、周期数列，根据递推关系可以写出数列的前几项，找出规律，发现周期，多在小题中出现。例1．若数列满足且,则________分析：由递推关系有，可知计算下去，数列的周期为5，从而。例2．（湖南卷）已知数列满足，则=________分析：由递推关系有可得数列的周期为3，从而。当然本题可以类比三角公式，令，写出一个通项公式，从而得。二、考查an与Sn的相互转化。我们知道an=，在实际解题过程中，要灵活运用这个递推关系。例3．设是正项数列，其前项和满足：,则数列的通项公式=_

2、_______分析：作为小题可以通过写出前几项，然后归纳出通项，再代入递推关系进行检验。而常规做法是消去递推关系中的。由，可得，两式相减后有an+1-an=2,可知数列为公差是2的等差数列，再求出首项即可。例4．（2004全国）数列的前n项和记为Sn，已知证明：（1）数列是等比数列，（2）分析：由题目所求我们应该知道要消去的是an+1，因此应用an=后有，从而（1）得证。（2）略。由上述两例我们知道在用该递推公式时要注意题目的要求是从左向右，还是从右向左。我们还要注意起始项是第几项，很多时候并不是从第一项开始的。请看：例5．设满足：（），若，则_____

3、____分析：这实际是变相的考查该递推公式，因为，那么，两式相减作差有，可以发现本题和例4是同一个题型，但是注意要从第2项开始。三、通过将递推关系适当变形，转化为等差或等比数列。例6．（2009重庆卷理）设，，，，则数列的通项公式=．分析：作为小题可以求出前几项，然后找出规律。一般地，我们寻找相邻两项的关系，直接由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则。例7．已知数列中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________分析：根据式子的特征，两边同时除以2次项a·a，有，数列{}为等差数列，问题迎刃而解。例8．已知数列中，求数列的

4、通项公式.分析：由递推公式可以转化为即所以.故递推公式为令，则且所以是以为首项，3为公比的等比数列，则所以或者也可以这样处理由已知递推式得，，两式相减得，，设，则，且，所以，即，所以两个方法都是解决an+1=pan+q这类题型的常规办法，转化为等比数列来处理，但入手点确实是不一样的，值得我们思考。例9．（2006江西文22）已知各项均为正数的数列，满足：，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．分析：（1）观察式子的次数和系数的特征，类比例7，两边同时除以2次项a·a，立得，因此｛｝为一个等比数列，其公比为2，首项为，所

5、以＝因an>0，由1°式解出an＝。（2）略。数列对递推关系的考查还有累加，累乘等大家熟悉的题型，不再赘述，以上数例，不能说明所有问题，仅作抛砖引玉。