三角形“四心”的一种向量表示

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1、三角形四心的一种向量表示图1几个记法：在△ABC中，O是其内部（不包括边界）一点，连结AO并延长交BC于D，连结BO并延长交CA于E，连结CO并延长交AB于F。记：，，；，，；且有：记：，，引理1.线段的定比分点的向量关系式（1）(1.1.1)；；(1.1.2)。(1.1.3)（2）若，，，则有：(1.2.1)；；(1.2.2)。(1.2.3)证明：只证明（1.1.1），其它同理。∵∴则有引理2.(2.1.1)(2.1.2)(2.2.1)(2.2.2)(2.3.1)(2.3.2)且有(2.4)证明：∵点B、O、E共线，且∴………………①同理，∵

2、点C、O、F共线，且∴………………②∴，解得：………………③③代入①得：又由引理1：共线得：由塞瓦定理得：代入上式得：………………④由③④得式(2.2.1)、(2.2.2)、(2.3.1)、(2.3.2)可同理证明。定理1.若O是三角形ABC的重心，则，且.当O为三角形ABC的重心时，有，代入引理2可得。定理2.若O是三角形ABC的内心，则，且.当O为三角形ABC的内心时，内三角形的内角平分线定理，有，代入引理2可得。定理3.若O是三角形ABC的垂心，则：.(3.1)且.证明：当三角形不为直角三角形时O为三角形ABC的垂心时，有：，代入引理2有

3、：=再由正弦定理得：代入上式，分子、分母同除以2RsinAsinBsinC，可得：。把，代入引理2整理得：若三角形为直角三角形，当A为直角时，△ABC的垂心即为点A，所以，而cotA=0，故（3.1）成立当B为直角时，△ABC的垂心即为点B，，cotB=0，（3.1）成立；当C为直角时，△ABC的垂心即为点C，，cotC=0，（3.1）成立。引理3.证明：由引理2：==由前边的记法及由塞瓦定理得：，代入上式得：同理：由平面向量的基本定理，可设于是有：即：解得：∴定理4.O是三角形ABC的重心的充要条件是：。证明：必要性：若O是△ABC的重心，则

4、，由引理3得充分性：由得：（其中F是AB的中点）∴点O、C、F共线，即点O在中线CF上；同理，点O在中线AD、BE上，∴O为△ABC的重心。定理5.O是三角形ABC的内心的充要条件是：(其中a、b、c分别是角A、B、C的对边)。证明：必要性：∵O是三角形ABC的内心，由内角平分线定理∴，由引理3得：即：充分性：由变形得：∴∴由向量加法的平行四边形法则，点O在角A的平分线上；同理，点O在角B和角C的平分线上，∴点O是△ABC的内心。定理6.O是三角形ABC的垂心的充要条件是：。（6.1）注：当三角形不为直角三角形时成立。若三角形为直角三角形，可把

5、结论改为：=。(6.2)事实上，此时，垂心为直角三角形的直角顶点。证明：必要性：当三角形不为直角三角形时∵O是三角形ABC的垂心∴，由引理3可得即：再由正弦定理得：代入上式，然后两边同除以2RcosAcosBcosC得：当三角形为直角三角形时，经验证，(6.2)成立。充分性：若三角形不为直角三角形由变形得：即：由引理1得：==由正弦定理得：上式化为=而∴共线，即点O在BC边的高线上；同理，点O也在CA、AB边的高线上，∴O为O是三角形ABC的垂心。若三角形为直角三角形，当A为直角时，点A即为三角形的垂心。（6.2）化为：，即O与A重合，所以O为

6、三角形的垂心。对B和C为直角时，同时可得。定理7.O是三角形ABC的外心的充要条件是：（7.1）证明此定理需要下面的引理：图2引理4.如图2：在△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，若O是△ABC的外心，则O是△DEF的垂心。证明：∵D、E、F分别是BC、CA、AB的中点∴EF∥BC，FD∥CA，DE∥AB，∵O△ABC的外心，∴OD⊥BC∴OD⊥EF，同理：OE⊥FD，OF⊥DE，∴O为△DEF的垂心。逆定理：如图3：设O是△ABC的垂心，过点A、B、C分别作BC、CA、AB的平行线，交于D、E、F三点，则O是△DEF的外心。

7、图3证明：∵EF∥BC，FD∥CA，DE∥AB，∴四边形ACBF、ABCE分别是平行四边形，∴AF=BC=AE，即A是EF的中点，同理，B是FD的中点，C是DE的中点，∵O是△ABC的垂心，∴OA⊥EF，OB⊥FD，OC⊥DE，∴OA=OB=OC，∴O是△DEF的外心。定理4的证明：必要性：∵O是△ABC的外心，∴O是△DEF的垂心，当三角形不为直角三角形时由定理7得：，又由D=A，E=B，F=C有：∵，，，代入上式整理得：。把各切化弦可得：若三角形为直角三角形，当A为直角时，有，而外心O为BC边的中点，，所以。当B或C为直角时，同理可证。充分

8、性：当三角形不为直角三角形时由用二倍角公式将sin2A、sin2B、sin2C展开，两边同除以cosAcosBcosC可得：于是：如图2：，，，且D=