向量表示三角形四心[篇]

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1、向量表示三角形四心[3篇]以下是网友分享的关于向量表示三角形四心的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。向量表示三角形四心第一篇三角形四心的向量问题三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式一．知识点总结1）O是∆ABC的重心⇔OA+OB+OC=0;若O是∆ABC的重心，则S∆BOC=S∆AOC=S∆AOB=1S∆ABC3故OA+OB+OC=0;36PG=(PA+PB+PC)⇔G为∆ABC的重心.32）O是∆ABC的垂心⇔OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA;若O是∆ABC(非直角三角形)的垂心，tanB：tanC则S∆BOC：S∆AOC：S∆AOB=tanA：故

2、tanAOA+tanBOB+tanCOC=03）O是∆ABC的外心⇔

3、OA

4、=

5、OB

6、=

7、OC

8、(或O=O=O)若O是∆ABC的外心：sin∠AOC：sin∠AOB=sin2A:sin2B:sin2C则S∆BOC：S∆AOC：S∆AOB=sin∠BOC222故sin2A+sin2B+sin2C=4）O是内心∆ABC的充要条件是⋅-=⋅-=⋅-=036引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是∆ABC内心的充要条件可以写成O⋅(e1+e3)=O⋅(e1+e2)=O⋅(e2+e3)=0O是∆ABC内心的充要条件也可以是aOA+bOB+cOC

9、=0若O是∆ABC的内心，则S∆BOC：S∆AOC：S∆AOB=a：b：c故aOA+bOB+cOC=0或sinAOA+sinBOB+sinCOC=0;

10、AB

11、PC+

12、BC

13、PA+

14、CA

15、PB=0⇔P∆ABC的内心;+)(λ≠0)所在直线过∆ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直向量λ(

16、AB

17、

18、AC

19、线)；二．范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ+λ∈[0,+∞)则P点的轨迹一，定通过∆ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量AB的单位向量设AB36与AC方向上的单位向量分别为

20、e1和e2，又-=，则原式可化为由菱形的基本性质知AP平分∠BAC，那么在∆ABC=λ(e1+e2)，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”中AP平分∠BAC，是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2．H是△ABC所在平面内任一点，HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA⇔点H是△ABC的垂心.由HA⋅HB=HB⋅HC⇔HB⋅(HC-HA)=0⇔H

21、B⋅AC=0⇔HB⊥AC,同理HC⊥AB，⊥.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（证略））例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，则P是△ABC的（D）36A．外心B．内心C．重心D．垂心解析:由⋅=⋅得⋅-⋅=0.即⋅(-)=0,即⋅=0则PB⊥CA,同理PA⊥BC,PC⊥AB所以P为∆ABC的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4

22、．G是△ABC所在平面内一点，++=0⇔点G是△ABC的重心.证明作图如右，图中GB+GC=GE连结BE和CE，则CE=GB，BE=GC⇔BGCE为平行四边形⇒D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将+=代入++=0，得+=0⇒=-=-2，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））例5．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心⇔36PG=1(PA+PB+PC).3证明PG=PA+AG=PB+BG=PC+CG⇒3=(++)+(++)∵G是△ABC的重心∴GA+GB+GC=0⇒AG+BG+CG=0，即3PG=PA+PB+PC例6若O为∆ABC内一点，OA+OB+OC=0，则O是∆AB

23、C的（由此可得PG=1(PA+PB+PC).（反之亦然（证略））3解析：由OA+OB+OC=0得OB+OC=-OA，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则OB+OC=OD，由平行四边形性质知A．内心B．外心C．垂心36D．重心C1OE=OD，OA=2OE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。2点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为λ=。本题