三角形四心的向量表示

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1、三角形“四心”的向量表示一、外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。证明外心定理证明:设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．OO若为内一点，则是的（    ）A．内心B．外心C．垂心D．重心二、垂心ABCABCABC三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。DEF证明:AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′的中垂线；同理BE、CF也分别为

2、A′C′、A′B′的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证．证明垂心定理A′B′C′例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。ABCDEFH又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．证：设BE、CF交于一点H，垂心ABCO例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:求证：1.O是的垂心是△ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.例3．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的_______解:例4.（2005全国Ⅰ）点O是ΔABC所在平面上一点，若，则点O是ΔABC的（）

3、（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高线的交点5.(2005湖南)P是△ABC所在平面上一点，若则P是△ABC的（　）A．外心B．内心C．重心D．垂心三、重心ABCABCABC三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。证明重心定理EFDG3.O是的重心为的重心.是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心.2.在中，给出等于已知AD是中BC边的中线;例1．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心证明:∵G是△ABC的重心即由此可得（反之亦然（证略））思考：若O为△ABC外心，G是△ABC的重心，则O为△ABC的内心、垂心

4、呢？例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．ABCEFDG证：设∵A,G,D共线，B,G,E共线．∴可设即：AG=2GD同理可得：AG=2GD,CG=2GF．重心例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．ABCEFDG重心想想看？另证:四、内心ABCABCABCABCABC三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。证明内心定理证明:设∠A、∠C的平分线相交于I,过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．IIEFD1.设a,b,c是三角形的三条

5、边长，O是三角形ABC内心的充要条件是ACBOabc2003天津理科高考题2.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心3.（2006陕西）已知非零向量与满足则△ABC为（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法,是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向量表达式与三角形某个“心”的关系，如所在直线一定通过△ABC的内心；所在直线过BC边的中点，从而一定通过△ABC的重心；所在直线一定通过△ABC的垂心等.

6、【总结】(1).是用数量积给出的三角形面积公式;(2).则是用向量坐标给出的三角形面积公式.4.在△ABC中:(1)若CA＝a，CB＝b，求证△ABC的面积(2)若CA＝(a1，a2)，CB＝(b1，b2)，求证：△ABC的面积解:ABCP思考:如图，设点O在内部，且有则的面积与的面积的比为___________．(2004年全国奥赛题)DEABCO思考:如图，设点O在内部，且有则的面积与的面积的比为___________．(2004年全国奥赛题)E思考:如图，设点O在内部，且有则的面积与的面积的比为___________．(2004年全国奥赛题)ED