2017年高中数学教a版选修4-1学案:第一讲一平行线等分线段定理word版含解析

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1、一 平行线等分线段定理1.理解并掌握平行线等分线段定理及其推论,认识它的变式图形.2.能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段,能运用推论进行简单的证明或计算.3.会用三角形中位线定理解决问题.1.平行线等分线段定理文字语言如果一组______在一条直线上截得的线段____,那么在其他直线上截得的____也相等符号语言已知a∥b∥c,直线m,n分别与a,b,c交于点A,B,C和A′,B′,C′,且AB=BC,则A′B′=____图形语言变式图形作用证明同一直线上的线段相等(1)平行线等分线段定理的条件是a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平

2、行,也可以相交,但它们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.(2)平行线的条数还可以更多,可以推广.(3)平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段,那么这组直线平行.可以证明这一命题是错误的.(如图)【做一做1】如图所示,l1∥l2∥l3,直线a分别与l1,l2,l3相交于A,B,C,且AB=BC,直线b分别与l1,l2,l3相交于A1,B1,C1,则有(  )A.A1B1=B1C1B.A1B1>B1C1C.A1B1<B1C1D.A1B1与B1C1的大小不确定2.推论1文字语言经过三角形一边的____与

3、另一边平行的直线必____第三边符号语言在△ABC中,D为AB的中点,过D作DE∥BC,交AC于E,则E平分____图形语言作用证明线段相等,求线段的长度三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边长的一半.【做一做2】如图所示,DE是△ABC的中位线,F是BC上任一点,AF交DE于G,则有(  )A.AG>GFB.AG=GFC.AG<GFD.AG与GF的大小不确定3.推论2文字语言经过梯形一腰的____,且与底边____的直线平分另一腰符号语言在梯形ABCD中,AD∥BC,E为AD的中点,过E作EF∥BC,交CD于F,则F平分__

4、__图形语言作用证明线段相等,求线段的长度梯形中位线的性质:梯形的中位线平行于两底边,并且等于两底边长和的一半.【做一做3】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=10cm,E为AB的中点,点F在DC上,且EF∥AD,则EF的长为(  )A.5cmB.10cmC.20cmD.不确定答案:1.平行线 相等 线段 B′C′【做一做1】A ∵l1∥l2∥l3,AB=BC,∴A1B1=B1C1.2.中点 平分 AC【做一做2】B ∵DE是△ABC的中位线,∴在△ABF中,DG∥BF,又∵AD=DB,∴G平分AF,即AG=GF.3.中点 平行 CD【做

5、一做3】A 由推论2知,EF是梯形ABCD的中位线,则EF=(AD+BC)=×10=5(cm).平行线等分线段定理的两个推论的证明剖析:(1)推论1:如图①,在△ABC中,B′为AB的中点,过B′作B′C′∥BC交AC于点C′,求证:C′是AC的中点.证明:如图②,过A作直线a∥BC,∵BC∥B′C′,∴a∥BC∥B′C′.又∵AB′=BB′,∴AC′=CC′,即C′是AC的中点.(2)推论2:如图③,已知在梯形ACC′A′中,AA′∥CC′,B是AC的中点,过B作BB′∥CC′交A′C′于点B′,求证:B′是A′C′的中点.证明:如图④,∵AA′∥

6、CC′,BB′∥CC′,∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB=BC,∴A′B′=B′C′,即B′是A′C′的中点.题型一任意等分已知线段【例题1】如图所示,已知线段AB,求作线段AB的五等分点,并予以证明.分析:利用平行线等分线段定理来作图.反思:将已知线段AB分成n等份的步骤:(1)作射线AC(与AB不共线);(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn;(3)连接DnB;(4)分别过点D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点A1,A2,…,An-2,An-1,则点A1,A2,

7、…,An-2,An-1将线段AB分成n等份.题型二证明线段相等【例题2】如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,O是CD的中点,求证:OA=OB.分析:由于线段OA和OB有共同端点,则转化为证明△OAB是等腰三角形即可.反思:平行线等分线段定理及其推论应在有线段的中点时应用,在没有线段的中点时要先构造线段的中点.题型三三角形中位线性质的应用【例题3】如图,梯形ABCD中,AB∥DC,E为AD的中点,EF∥BC,求证:BC=2EF.分析:由于EF∥BC,联系所证明的结果是BC=2EF,由此想到三角形中位线定理,过A作BC的平行线即可实现.反思:(1)如果已知

8、条件中出现中点,那么往往利用三角形中位线的性质来解决有关问题.(2)本题也可用平行线等分线段定理来证明,过E

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