2017年高数学人教a版选修4-1学案：第一讲一平行线等分线段定理word版含解析

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1、一　平行线等分线段定理1．理解并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形．2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算．3．会用三角形中位线定理解决问题．1．平行线等分线段定理文字语言如果一组______在一条直线上截得的线段____，那么在其他直线上截得的____也相等符号语言已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，且AB＝BC，则A′B′＝____图形语言变式图形作用证明同一直线上的线段相等(1)平行线等分线段定理的条件是

2、a，b，c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a，b，c相交，即被平行线a，b，c所截．(2)平行线的条数还可以更多，可以推广．(3)平行线等分线段定理的逆命题是：如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行．可以证明这一命题是错误的．(如图)【做一做1】如图所示，l1∥l2∥l3，直线a分别与l1，l2，l3相交于A，B，C，且AB＝BC，直线b分别与l1，l2，l3相交于A1，B1，C1，则有(　　)A．A1B1＝B1C1B．A1B1＞B1C1C．

3、A1B1＜B1C1D．A1B1与B1C1的大小不确定2．推论1文字语言经过三角形一边的____与另一边平行的直线必____第三边符号语言在△ABC中，D为AB的中点，过D作DE∥BC，交AC于E，则E平分____图形语言作用证明线段相等，求线段的长度三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边长的一半．【做一做2】如图所示，DE是△ABC的中位线，F是BC上任一点，AF交DE于G，则有(　　)A．AG＞GFB．AG＝GFC．AG＜GFD．AG与GF的大小不确定3．推论2文字语言经过梯形

4、一腰的____，且与底边____的直线平分另一腰符号语言在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AD的中点，过E作EF∥BC，交CD于F，则F平分____图形语言作用证明线段相等，求线段的长度梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边长和的一半．【做一做3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＋BC＝10cm，E为AB的中点，点F在DC上，且EF∥AD，则EF的长为(　　)A．5cmB．10cmC．20cmD．不确定答案：1．平行线　相等　线段　B′C′【做一做1】A　∵l1∥l2∥l3，

5、AB＝BC，∴A1B1＝B1C1.2．中点　平分　AC【做一做2】B　∵DE是△ABC的中位线，∴在△ABF中，DG∥BF，又∵AD＝DB，∴G平分AF，即AG＝GF.3．中点　平行　CD【做一做3】A　由推论2知，EF是梯形ABCD的中位线，则EF＝(AD＋BC)＝×10＝5(cm)．平行线等分线段定理的两个推论的证明剖析：(1)推论1：如图①，在△ABC中，B′为AB的中点，过B′作B′C′∥BC交AC于点C′，求证：C′是AC的中点．证明：如图②，过A作直线a∥BC，∵BC∥B′C′，∴a∥BC∥

6、B′C′.又∵AB′＝BB′，∴AC′＝CC′，即C′是AC的中点．(2)推论2：如图③，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′，B是AC的中点，过B作BB′∥CC′交A′C′于点B′，求证：B′是A′C′的中点．证明：如图④，∵AA′∥CC′，BB′∥CC′，∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB＝BC，∴A′B′＝B′C′，即B′是A′C′的中点．题型一任意等分已知线段【例题1】如图所示，已知线段AB，求作线段AB的五等分点，并予以证明．分析：利用平行线等分线段定理来作图．反思：将已知线段AB分成n等

7、份的步骤：(1)作射线AC(与AB不共线)；(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝…＝Dn－1Dn；(3)连接DnB；(4)分别过点D1，D2，D3，…，Dn－2，Dn－1作DnB的平行线，分别交AB于点A1，A2，…，An－2，An－1，则点A1，A2，…，An－2，An－1将线段AB分成n等份．题型二证明线段相等【例题2】如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，O是CD的中点，求证：OA＝OB．分析：由于线段OA和OB有共同端点，则转化为证明△OAB是等腰三角形即可．反思：

8、平行线等分线段定理及其推论应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时要先构造线段的中点．题型三三角形中位线性质的应用【例题3】如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E为AD的中点，EF∥BC，求证：BC＝2EF.分析：由于EF∥BC，联系所证明的结果是BC＝2EF，由此想到三角形中位线定理，过A作BC的平行线即可实现．反思：(1)如果已知条件中出现中点，那么往往利用三角形中位线的性质来解决有关问题．(2)本题也可用平行线等分线段定理来证明，过E