专题 空间点、直线、平面之间的位置关系-万变不离其宗高中数学课本典型试题改编系列（必修）（解析版）

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1、专题二：点、直线、平面之间的位置关系———2017版高中数学课本典型试题改编系列之必修2（原卷版）2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1.【原题】（必修2第47页例题3）　如右图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？【解析】(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′

2、＝45°，[来源:学。科。网Z。X。X。K]所以直线BA′和CC′的夹角为45°.(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．【原题解读】（1）知识上；需要明确异面直线所成角的定义。（2）思路方法上；异面直线所成角问题主要分三步；“找”、“证”、“算”，即；先要通过对空间几何环境的观察发现异面直线所成的角（对应的平面角），然后回到定义进行证明，最后进行角的计算（一般放到三角形中）。（3）考察空间想象能力及推理论证和计算能力，转化思想。【变式网络】变式1.【2014安徽高考】从正方体六个面的对

3、角线中任取两条覼作为一对，其中所成的角为的共有（）A．24对B．30对C．48对D．60对【答案】C【解析】在正方体中，与上平面中一条对角成的直线有，，，共八对直线，与上平面中另一条对角线的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有对直线，去掉重复，则有对．故选C．变式2.【2012全国大纲卷】已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．【答案】变式3.【2014新课标2】直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是

4、A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，且，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB=在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO=故选：C．变式4.【2015高考四川】如

5、图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.【答案】【解析】如图建立空间直角坐标系；设，则，设，则；由于异面直线所成的角范围为；，所以，令，当时取等号，所以当时，取得最大值.【变式题组反思】1.考查知识点：异面直线的判定、异面直线所成角；2．考查的方式：高考中主要为选择和填空题。3．命题的思路：通过常见几何体模型，考查空间中的异面直线所成的角，空间想象能力，推理和运算能力．4．题目变化方向：以常见几何体为背景，向综合性和体现能

6、力的方向变化。如将异面直线所成角问题与函数不等式等融合，凸显了数学学科内知识间的内在即时联系，能较好的考查学生的综合知识运用能力.2.【原题】（必修2第49页例题4）下列命题中正确的个数是(　　)①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．0B．1C．2D．3【解析】如右图借助长方体模型来看命题是否正确．命题①不正确，相交时也符合；命题②不正

7、确，如右图中，A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；命题③不正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；命题④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点．【原题解读】（1）知识上：线与面平行的判定定理；（2）思路方法上；通过对判定定理中关键条件的辨析，（如“无数”与“任意”）加深对判定定理的理解。在命题真假判定中注意运用几何模型，假的可举出反例。（3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和建模思想。【变式网络】变式1.【2012四川高考】下列

8、命题正确的是(　　)A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这