高中数学 第三章 导数及其应用 . 导数在研究函数中的应用学案 苏教选修-

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1、3.3导数在研究函数中的应用3．3.1　单调性已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝.问题1：试作出上述三个函数的图像．提示：图像为问题2：试根据上述图像说明函数的单调性．提示：函数y1＝x在R上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题3：判断它们导函数的正负．提示：y1′＝1>0；y2′＝2x，当x>0时，y2′>0，当x<0时，y2′<0，y3′＝－<0.问题4：由问题2、3试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当f′(x)>0时，f(x)为

2、增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．问题5：试用y＝ex，y＝e－x说明函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：y＝ex的导函数y′＝ex>0，所以y＝ex在R上为增函数，y＝e－x的导函数y′＝－e－x<0，所以y＝e－x在R上为减函数．一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系导数函数的单调性f′(x)＞0单调递增f′(x)＜0单调递减f′(x)＝0常数函数1．函数的单调性与导数的关系可以利用导数的几何意义解释，导数大于零，切线的斜率大于零，函数单调增加；即该函数是增函数；反之，函数为减函数．2．在某个区间

3、内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件，若出现个别点的导数为零，不影响函数在该区间上的单调性．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，而f(x)＝x3在R上是增函数．-29-判断或证明函数的单调性[例1]　求证函数f(x)＝sinx＋tanx在内为增函数．[思路点拨]　先利用求导法则求出导数f′(x)，再证明f′(x)在内恒正，得出结论．[精解详析]　∵函数f(x)＝sinx＋tanx在内恒有意义，且f′(x)＝(sinx)′＋(tanx)′＝cosx＋＝cosx＋＝.又∵x∈，∴0

4、osx≤1，∴f′(x)>0，∴y＝f(x)在内为增函数．[一点通]　用导数判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的步骤：(1)求出y＝f(x)的导数f′(x)；(2)证明导数y＝f′(x)在区间(a，b)内恒正(恒负)；(3)下结论y＝f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)．1．已知函数y＝f(x)，x∈[0,2π]的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的单调增区间为________．解析：根据f′(x)>0，函数f(x)单调递增，f′(x)<0时，f′(x)单调递减，-29-由图得到x∈[0，π

5、]时，f′(x)>0，故y＝f(x)的单调增区间为(0，π)．答案：(0，π)2．讨论下列函数的单调性：(1)f(x)＝x3＋ax；(2)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)．解：(1)f′(x)＝3x2＋a.①当a≥0时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增．②当a<0时，f′(x)＝3(x＋)(x－)．易知当x≤－时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增．当－

6、＝(ax＋a－x)lna.∴当a>1时，lna>0，ax＋a－x>0，∴f′(x)>0，∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．当00，∴f′(x)<0，∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数.求函数的单调区间[例2]　求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝x4－2x2＋3；(2)f(x)＝3x2－2lnx；(3)f(x)＝x＋(b>0)．[思路点拨]　先确定定义域，再求导数f′(x)．令f′(x)>0或f′(x)<0求得单调区间．[精解详析]　(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝4

7、x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)．令f′(x)>0，则4x(x＋1)(x－1)>0，解得－11，-29-∴函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)，令f′(x)<0，则4x(x＋1)(x－1)<0.解得x<－1或0

8、数的定义域为{x

9、x≠0}．f′(x)＝′＝1－＝(x＋)(x－)．令f′(x)>0，则(x＋)(x－)>0.解之得x>或x<－.∴函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．令f′(x)<0，则(x＋)(x－)<0，解得－