高中数学 导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数（一）学案新人教a版

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1、1．3.2　函数的极值与导数(一)学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一　函数的极值点和极值思考　观察函数y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．答案　极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)．梳理　(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值

2、都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二　函数极值的

3、求法与步骤(1)求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数f(x)的极值的步骤①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③列表；④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左

4、右两侧单调性的变化情况求极值．1．导数为0的点一定是极值点．(　×　)2．函数的极大值一定大于极小值．(　×　)3．函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　×　)4．极值点处的导数一定为0.(　×　)类型一　求函数的极值点和极值例1　求下列函数的极值．(1)f(x)＝－2；(2)f(x)＝.考点　函数在某点处取得极值的条件题点　不含参数的函数求极值问题解　(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝＝－.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(

5、－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．反思与感悟　函数极值和极值

6、点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．跟踪训练1　求下列函数的极值点和极值．(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝x2e－x.考点　函数在某点处取得极值的条件题点　不含参数的函数求极值问题解　(1)f′(x)＝x2－2

7、x－3.令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值，且极大值f(－1)＝，当x＝3时，函数有极小值，且极小值f(3)＝－6.(2)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(

8、0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且极小值为f(0)＝0.当x＝2时，函数有极大值，且极大值为f(2)＝4e－2.例2　已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．考点　函数在某点处取得极值的条件题点　含参数求极值问题解　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠知－2a≠a－2.