量子力学课后习题答案

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1、量子力学课后习题详解第二章波函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令可见无关。2.2由下列定态波函数计算几率流密度：从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点)传播的球面波。解：在球坐标中同向。表示向外传播的球面波。32可见，反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。补充：设，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∴波函数不能按方式归一化。其相对位置几率分布函数为表示粒子在空间各处出现的几率相同。2.3一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，是定态问题。其定态S—方程在各区域的具体形式为Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③由于(

2、1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为令，得其解为④根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得32⑤　　⑥　　　　⑤　⑥∴由归一化条件得由可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为2.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是证：（2.6-14）由归一化，得∴归一化常数2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。32解：令，得由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。可见是所求几率最大的位置。#2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态

3、S-方程为①将式中的代换，得　　②利用，得③比较①、③式可知，32都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程①、③可相互进行空间反演而得其对方，由①经反演，可得③，④由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。　　　　　　　　⑤④乘⑤，得可见，当时，，具有偶宇称，当时，，具有奇宇称，当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#2.7一粒子在一维势阱中运动，求束缚态()的能级所满足的方程。解法四：（最简方法-平移坐标轴法）Ⅰ：（χ≤0）Ⅱ：（0＜χ＜2）Ⅲ：（χ≥2）束缚态＜＜32因此由波函数的连续性，有

4、(7)代入(6)利用(4)、(5)，得补充练习题一1、设，求A=？解：由归一化条件，有利用∴第三章量子力学中的力学量3.1一维谐振子处在基态，求：32(1)势能的平均值；(2)动能的平均值；(3)动量的几率分布函数。解：(1) (2)或(3)32动量几率分布函数为#3.2.氢原子处在基态，求：(1)r的平均值；(2)势能的平均值；(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。解：(1)(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为32令当为几率最小位置∴是最可几半径。(4)(5)32动量几率分布函数3.6设t=0时，粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能。解：可见

5、，动量的可能值为动能的可能值为对应的几率应为上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得∴∴动量的平均值为32#3.7一维运动粒子的状态是其中，求：(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子的平均动量。解：(1)先求归一化常数，由∴动量几率分布函数为(2)32#补充练习题二6．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。7、下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？①，②，③，　④，　⑤解：①∴不是的本征函数。②32∴不是的本征函数，其对应的本征值为1。③∴可见，是的本征函数，其对应的本征值为－1。④∴是的本征函数，其对应的本征值为－1。⑤∴是的本征函数，其对应的本征值为－1。8、试求算

6、符的本征函数。解：的本征方程为（的本征值）9、如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。解：方程（分区域）：32Ⅰ：∴Ⅲ：∴Ⅱ：令标准条件：∴∵∴取，即∴∴∴粒子的波函数为32粒子的能级为由归一化条件，得∴∴粒子的归一化波函数为11、求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解：32令，得，，∴为几率最小处。，∴为几率最大处。6．设氢原子处在的态（为第一玻尔轨道半径），求①的平均值；　　②势能的平均值。　　　　解：①　　②14、说明：如果算符和都是厄米的，那么(+)也是厄米的证：32∴+也是厄米的。15、问下列算符是否是厄米算符：①②解：①因为∴不

7、是厄米算符。②∴是厄米算符。##16、如果算符满足关系式，求证①　　　②证：①②3217、求解：=018、解：32=0第四章态和力学量的表象4.1.求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。解：324.5设已知在的共同表象中，算符的矩阵分别为求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。解：的久期方程为∴的本征值为的本征方程其中设为的本征函数共同表象中的矩阵当时，有32∴由归一化条件取对应于的本征值0。当时，有∴由归一化条件32取∴归一化的对应于的本征值当时，有∴