量子力学课后习题

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1、第一章绪论1.在0K附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。2.氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布洛意波长。3.利用玻尔-索末菲的量子化条件，求（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。4.两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？第二章波函数和薛定谔方程1.证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。2.由下列两定态波函数计算几率流密度:（1），（2）3.求粒子在一维无限深势阱中运动的能级和波函数。4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是5.求一维线

2、性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。6.试求算符的本征函数。7.如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。第一章量子力学中的力学量1.一维线性谐振子处于基态，求:（1）势能的平均值；（2）动能的平均值；（3）动量的几率分布函数。2.氢原子处于基态，求：（1）r的平均值；（2）势能的平均值；（3）最可几半径；（4）动能的平均值；（5）动量的几率分布函数。3.一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：（1）转子绕一固定轴转动；（2）转子绕一固定点转动。4.一维运动的粒子的状态是其中，求（

3、1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。5.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。6.设氢原子处于状态　　　　求氢原子的能量，角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。7已知和是二个厄密算符，试证明：（1）也是厄密算符（2）也是厄密算符8.令和，试证明（1）[]=；（2）[]=第四章态和力学量的表象1.求动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。2.求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。3.求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。4.求线性谐振子哈

4、密顿量在动量表象中的矩阵元。5.设已知在和表象中，算符和和矩阵分别为　　　，　求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵和对角化。6．设厄米算符，满足，,求在表象中，算符和的矩阵表示。第五章微扰理论1.如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0、电荷分布均匀的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。2.设一体系未受微扰作用时只有两个能级：E01和E02，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为，；a，b都是实数。用微扰公式求其能量至二级修正。3.有一粒子，其Hamilton量的矩阵形式为：，其中求能级的一级近似和波函数的0级近似。4.在某一选定的一组正交基下哈米顿算符由下列矩阵给出（1

5、）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似；（2）求H的精确本征值；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。5.求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。第七章自旋与全同粒子1.求证：。2.在本征态下，求3.在表象中，求和的本征值和所属的本征函数。4.求自旋角动量在方向的投影的本征值和所属的本征函数。5.设氢原子状态是　　　　　（1）求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；（2）求总磁矩　（SI）的z分量的平均值（用玻尔磁子表示）。（1）一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？7.证明，，和组

6、成正交归一系。8.设两电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。