渗流问题灰色数值模型的解法研究

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1、第34卷第3期数学的实践与认识Vol134No132004年3月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYMarch,2004渗流问题灰色数值模型的解法研究12111李树文,　王义闹,　赵秀娟,　杨卫华,　周继红(1.河北建筑科技学院,河北邯郸　056038)(2.温州大学,温州　325035)摘要:灰色数值模型的求解是研究灰色数值模型的一个重要问题.本文根据灰集合、灰数及其灰色运算规则,在渗流系统的基本灰色数值模型的基础上,分析了求解这类模型的一整套灰色数值算法,并对灰色数值算法、普通算法和经典数值方法的计算结果进行了全面比较,论

2、证了灰色数值算法对灰信息传递的正确性和对渗流系统描述的合理性.关键词:灰集合;渗流系统;灰色数值模型;灰色算法1　问题的提出　　八十年代后期,人们应用邓聚龙教授创立的灰色系统理论于渗流问题中,开始研究渗流[1—2]系统的灰色信息问题,但主要是针对集中参数的灰色模型研究.与集中参数模型相比,分布参数模型在刻画渗流场的时空分布特征方面更具优点.因此,进入九十年代,人们开始[3—4][3][4]研究渗流系统的灰色分布参数模型问题.文献和文献中的研究成果标志了渗流系统灰色分布参数模型研究的开始.这两项研究的主要成就是:前者探讨了当灰色数值模型的参数值和输入信

3、息全部为灰量时,模型输出量的基本特点以及灰色分布参数模型应用的可行性;后者研究了灰色数值模型中的灰参数问题,而其它输入信息仍视为确定值,研究重点放在了灰参数方面.但这两项研究成果均未依据灰色数学的基本运算规则去建立离散结点的灰色有限元方程,而对灰色数值模型采用了传统算法求解,这样不可避免地导致由输入到输出过程中的信息遗漏,影响模型的应用效果.因此,本文直接运用灰集合和灰色数学的基本理论与算法规则,提出了求解这类模型的一整套灰色数值算法,试图为水资源环境的预测和评价开辟一个新的研究领域.2　渗流系统的基本灰色数值模型[5][3—4]基于灰信息分析的渗流

4、系统的微分方程可表示为:55(ªH)55(ªH)ªTx+ªTy-(ªQw)D(x-xw,y-yw)5x5x5y5y5(ªH)+(ªE)-(ªL)=0(1)ªt　　根据伽辽金(Galerkin)有限元方法,对于(1)式乘以基函数Ui(x,y),然后积分,得到如下方程:55(ªH)55(ªH)kªTx+ªTyõUi(x,y)dxdy5x5x5y5yDi收稿日期:2002203229©1994-2006ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnk

5、i.net58数　学　的　实　践　与　认　识34卷+k(ªE)Ui(x,y)dxdy-k[(ªQw)D(x-xw,y-yw)]DDii5(ªH)õUi(x,y)dxdy-k(ªL)õUi(x,y)dxdy5tDi-∫(ªql)õUi(x,y)dl在二类边界上#=i(2)0其它边界上[6]　　对以上方程进一步离散,并把所有灰数表示成区间灰数的形式,便可得到任一结点i的灰色有限元方程:[Ta,Tb]2B{Ai[Hia,Hib]+Aj[Hja,Hjb]+Ak[Hka,Hkb]}4△B△B△H+[Qa,Qb]-2B[Ea,Eb]+2B△B[La,Lb]3△t

6、1{liu[qua,qub]+liv[qva,qvb]}在第二类外结点上=2i=1,2,⋯,m(3)0其它结点上[3]　　其中Ai,Aj,Ak是关于座标的量.方程(3)即为渗流系统的基本灰色数值模型.3　灰色数值模型的解法研究以上基本灰色数值模型中包含了不少区间型灰数,因此对于基本灰色数值模型的求解,[5—6]应当从灰集合理论出发,运用灰数的运算性质,以获得真正的灰结果.前人的同类研究[3—4]中,借用了求解白化方程(组)的方法来求解基本灰色数值模型(本文称之为普通算法),作者认为这种算法缺乏必要的理论基础.为此,以下首先给出了灰色数值模型的灰色算法

7、.然后简述了灰色数值模型的普通算法,并将不同算法的计算结果作了比较.311　灰色数值模型的灰色算法将方程(3)简记为:I1+I2-I3+I4=I5运用灰数运算法则,可以将方程(3)逐项计算.对于I1项计算,要特别注意其中的Ai,Aj,Ak的符号问题,Ai总是大于零的,而Aj,Ak符号有正有负,因此应据不同情况讨论,即:[Ta,Tb]I1=I1-1=2B[AiHia+AjHja+AkHka,AiHib+AjHjb+AkHkb]　当Aj,Ak>0时(4)4△B[Ta,Tb]I1=I1-2=2B[AiHia+AjHjb+AkHkb,AiHib+AjHja+

8、AkHka]　当Aj,Ak<0时(5)4△B[Ta,Tb]I1=I1-3=2B[AiHia+AjHja+Ak