平面向量的数量积及应用

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1、【本讲教育信息】一、教学内容：平面向量的数量积及应用 二、学习目标1、掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用。2、平面向量的数量积及其几何意义，向量垂直的充要条件。利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。 三、知识要点（一）主要知识：（1）平面向量的数量积的定义1）向量的夹角：已知两个非零向量，过O点作，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量的夹角。当且仅当两个非零向量同方向时，θ=0°，当且仅当反方向时，θ=180°，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。2）垂直；如果的夹角为90°则称垂直，记作。3

2、）的数量积：两个非零向量，它们的夹角为θ，则叫做的数量积（或内积），记作，即=规定=0   非零向量当且仅当时，θ=90°，这时=0。4）在方向上的投影：（注意是射影）所以，的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积。（2）平面向量数量积的性质设是两个非零向量，是单位向量，于是有：①②③当同向时，；当反向时，，特别地，。④⑤（3）平面向量数量积的运算律①交换律成立：②对实数的结合律成立：③分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=0或=0④但是乘法公式成立：；；等等。（4）平面向量数量积的坐标表示1）若=（）,=（）则=2）若=（x,

3、y）,则

4、

5、=.=x2+y2,3）若A（）,B（）,则4）若=（）,=（）则（）5）若=（）,=（）则 （二）主要方法：1、注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围；2、垂直的充要条件的应用；3、当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性；4、距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题上来解决．5、特别提示：数量积不满足结合律。 【典型例题】例1、已知两单位向量与的夹角为120°，若，试求与的夹角。解：由题意，，且与的夹角为120°，所以，，，同理可得 而，设为与的夹角，则  例2、已知，，，按下列条件求实数的值。（1）；（2）解：∵（1）；（2）；（3）。点评：此例展示了向量在坐标

6、形式下的基本运算。 例3、已知向量且求（1）及；（2）若的最小值是，求的值。解：（1）（2）①当时，②当时，③当时，综上所述：。 例4、三角形ABC中，A（5，－1）、B（－1，7）、C（1，2），求：（1）BC边上的中线AM的长；（2）∠CAB的平分线AD的长；（3）cos∠ABC的值解：（1）点M的坐标为=D点分的比为2∴xD=（3）∠ABC是与的夹角，而=（6，8），=（2，－5） 例5、已知向量，．（1）当，且时，求的值；（2）当，且∥时，求的值．解：（1）当时，， ，由，  得， 上式两边平方得，因此，． （2）当时，，由∥得．即．  ，   或．命题意图与思路点拨：本题考

7、查三角函数与平面向量的综合运用，理解平面向量的平行和垂直关系，并合理转化为三角函数变形求值问题。本讲涉及的主要数学思想方法1、解决关于向量的问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识　二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想2、要体会思路的形成过程，体会数学思想方法的运用。创设问题情景，引导发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。搞好解题后的反思，从而提高综合运用知识分析和解决问题的能力。3、通过应用举例，让学生体会用平面向量解决平面几何问题的两种方法——向量法和坐标法。 【模拟试题】（答题时间：60

8、分钟）一、选择题1.设A、B、C、D四点坐标依次是（－1，0），（0，2），（4，3），（3，1），则四边形ABCD为（   ）A.正方形                   B.矩形          C.菱形            D.平行四边形2.已知△ABC中，=，=，·<0，S△ABC=,

9、

10、=3,

11、

12、=5,则与的夹角是（   ）A.30°                       B.－150°          C.150°           D.30°或150°3.设a，b是非零向量，则使a·b=成立的一个必要非充分条件是（　　）A.              

13、      B.            C.            D.**4.已知P是内一点，且满足0，记、、的面积依次为、、，则：：等于（     ）A.1：2：3              B.1：4：9        C.：：1 D.3：1：25.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）A.            B.           C.          D.*6.将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（　　）A.