平面向量的数量积及向量的应用

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1、2011—2012学年高三数学文科一轮复习向量导学案班级：姓名：教师评价：编写：刘海国校审：第三节平面向量的数量积及向量的应用复习目标：1．理解向量数量积的概念及几何意义;2．掌握数量积的运算式及其变式与运算律.3.能通过向量运算研究几何问题中的点、线段、夹角等关系;4.会用向量知识解决几何、物理问题知识梳理：１.向量的数量积的定义：已知两个非零向量，它们的夹角为，则把数量叫做的数量积（或内积），记作，即　　　＝　　　　规定：零向量与任一向量的数量积为格；注意公式的变形＝．２.向量的数量积的几何意义10.投影的概念:设，过Ｂ作垂直于直线ＯＡ,垂足为,则＝　　叫在方向上的投影．20.

2、向量数量积的几何意义：数量积等于　　与在方向上的投影　　　的乘积３.向量的数量积的性质：设都是非零向量，为的夹角．①特殊情况:　　　　．＝　　　　或②当同向时，＝　　　　　；当反向时，＝　　　　　．③　　④运算律:;;;注意:.4.向量的数量积的坐标运算：设,则10.=;20.　　　　．30.=;40.5.向量在几何中的应用：设,,.10.平行,垂直;20.夹角30.距离或;.6.向量在几何中的应用：10.向量的加法与减法在力的分解及合成中的应用;20.向量在速度的分解及合成中的应用;30.向量的数量积在力所做的功中的应用;课堂典例讲练题型一：平面向量数量积的运算例一：(1)若a＝

3、(3，－4)，b＝(2,1)，则(a－2b)·(2a＋3b)＝________.(2)如图4－3－1所示，在△ABC中，AD⊥AB，＝，

4、

5、＝1，则·＝A．2　　　B.　　　C.　　　D.变式训练：若将本例第(2)题的条件改为“在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD.”如图4－3－2所示，试求·.【解】　∵DC＝2BD，即＝，∴＝＋＝＋.又＝－，2011—2012学年高三数学文科一轮复习向量导学案班级：姓名：教师评价：编写：刘海国校审：因此＝＋(－)＝＋.∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，∴·＝2＋·＝×12＋×2×1·cos1

6、20°＝－.题型二：向量的夹角与模例二：已知

7、a

8、＝4，

9、b

10、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求

11、a＋b

12、；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．【尝试解答】　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4

13、a

14、2－4a·b－3

15、b

16、2＝61.又

17、a

18、＝4，

19、b

20、＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)可先平方转化为向量的数量积．

21、a＋b

22、2＝(a＋b)2＝

23、a

24、2＋2a·b＋

25、b

26、2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴

27、a＋b

28、＝.(3)由(1)知与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝

29、.又

30、

31、＝

32、a

33、＝4，

34、

35、＝

36、b

37、＝3，∴S△ABC＝

38、

39、

40、

41、sin∠ABC＝×4×3×＝3.变式训练：已知

42、a

43、＝1，

44、b

45、＝6，且a·(b－a)＝2，求：(1)a与b的夹角；(2)

46、2a－b

47、的模．【解】　(1)∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2.又

48、a

49、＝1，∴a·b＝3.则

50、a

51、·

52、b

53、cos〈a，b〉＝3＝1×6cos〈a，b〉，得cos〈a，b〉＝，∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为.(2)

54、2a－b

55、2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4×12－4×3＋62＝28.∴

56、2a－b

57、＝＝2.,题型三：平面向量的垂直问题例3：已知平面向量a＝(，－1)，b＝(，

58、)．(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．2011—2012学年高三数学文科一轮复习向量导学案班级：姓名：教师评价：编写：刘海国校审：变式训练：设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b.若

59、a

60、＝1，求

61、a

62、2＋

63、b

64、2＋

65、c

66、2的值．【解】　∵a⊥b，b＝－a－c，∴a·b＝a·(－a－c)＝－

67、a

68、2－a·c＝0，∴a·c＝－

69、a

70、2＝－1.又∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·c＝0，∴a·c＝b·c＝－1.∵a＝－b－c，∴

71、a

72、2＝

73、b

74、2＋

75、c

76、2＋2b·c

77、，∴

78、b

79、2＋

80、c

81、2＝

82、a

83、2－2b·c＝3，∴

84、a

85、2＋

86、b

87、2＋

88、c

89、2＝4.题型四：数量积的综合应用例四：已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(cos，－sin)，且x∈[－，]．(1)求a·b及

90、a＋b

91、；(2)若f(x)＝a·b－

92、a＋b

93、，求f(x)的最大值和最小值．【规范解答】　(1)a·b＝cosxcos－sinxsin＝cos2x；··························2分

94、a＋b

95、＝＝＝2

96、cosx

97、，·············