暑期班第讲.幂函数与二次函数.学生版

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1、第6讲幂函数与二次函数高考要求幂函数和根及函数的应用要求层次重点难点幂函数B幂函数，，，，的图象及其性质①函数单调性的证明和判断②简单函数单调区间的求法知识精讲板块一：幂函数的概念(一)知识内容1、幂的有关概念正整数指数幂：零指数幂：负整数指数幂：分数指数幂：正分数指数幂的意义是：负分数指数幂的意义是：(1)幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况).(2)幂函数的图象2010年·暑假高一数学·第6讲·学生版page12of12幂函数当时的图象见左图；当时的图象见右图：由图象可知

2、，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：(3)幂函数的性质有下列性质：(1)时：①图象都通过点，；②在第一象限内，函数值随的增大而增大，即在上是增函数.(2)时：①图象都通过点；②在第一象限内，函数值随的增大而减小，即在上是减函数；③在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近.(3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；(4)任何幂函数图象都不经过第四象限；(5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点.【说明】由幂函数的概念和定义域决定了，我们研究幂函数一般只研究其在第一象限内的部分，更精确地说是研究幂函数的时候只

3、讨论x≥0或者x＞0的时候.(4)幂函数的奇偶性函数的定义域为,定义域关于原点对称,且2010年·暑假高一数学·第6讲·学生版page12of12所以当为奇数时函数是奇函数,为偶数时函数是偶函数.【说明】高中范围内一般不研究非整数指数的幂函数的奇偶性.(二)典例分析【例1】函数是幂函数，求的值.【例2】求函数的定义域.【例3】已知，求的取值范围.【例4】已知幂函数为偶函数且在区间上是单调减函数．⑴求函数的解析式；⑵讨论的奇偶性．2010年·暑假高一数学·第6讲·学生版page12of12【例1】（山东省莱阳一中08-09学年高

4、一上学期学段检测数学必修1）已知幂函数满足．⑴求实数的值，并写出相应的函数的解析式；⑵对于⑴中的函数，试判断是否存在正数，使函数，在区间上的最大值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．板块二：二次函数与方程四、二次函数根的判定1.二次函数根的判定二次函数的根个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的根两个不相等的实根两个根两个相等的实根一个二重根无实根无根2.二次函数根的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过根时(不是二次根)，函数值变号.②相邻两个根之间的所有的函数值保持同号.【说明】对任意函数，只要它的图象是连

5、续不间断的，上述性质同样成立.3.二次函数的根的应用①利用二次函数的根研究函数的性质，作出函数的简图.②根据函数的根判断相邻两个根间函数值的符号，观察函数的一些性质.(二)典例分析：【例2】已知m∈R，函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有根，求实数a的取值范围，是奇函数？2010年·暑假高一数学·第6讲·学生版page12of122.二次方程根的分布【例1】方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2，求实数a的取值范围3.一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如

6、二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.【例2】若方程的根都为正数，求m的取值范围.【例3】若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围.4.一元二次方程根的非零分布——k分布设一元二次方程()的两实根为，，且.为常数.则一元二次方程根的2010年·暑假高一数学·第6讲·学生版page12of12分布(即，相对于的位置)有以下若干定理.【定理1】如图所示：【定理2】.如图所示：【定理3】.如图所示：推论1.推论2.【定理4】有且仅有(或)如图所示：2010年

7、·暑假高一数学·第6讲·学生版page12of12【定理5】或【定理6】或如图所示：【例1】已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.2010年·暑假高一数学·第6讲·学生版page12of12【例1】若关于x的方程有唯一的实根，求实数a的取值范围.【例2】函数的值域是A.y＞0B.y∈RC.y＞0且y≠1D.y≤2【例3】已知，求实数的值.【例4】若函数在区间[a，b]上的最小值为2

8、a，最大值为2b，求区间[a，b].2010年·暑假高一数学·第6讲·学生版page12of12【例1】已知二次函数(1)若a>b>c,且f(1)=0,证明f(x)的图象与x轴有2个交点;(2)在(1)的条件下,是否存在m∈R,使池f(m)=-a成立时,f(m+3)为正数,若