第三章 平面问题有限单元法

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1、第三章平面问题有限单元法第三章平面问题有限单元法3.1平面问题的单元划分1.问题的提出（1）连续体上无自然的结点和单元分界面，必须人为地用若干个离算点将连续体划分为有限个单元（2）没有通用的公式能描述节点位移和单元内任一点的位移及应力关系，应该选择适当的位移函数来建立这种关系2.要求（1）几何近似：计算模型应在几何上与原型和结构近似（2）物理近似：离算的单元的物理力学性质与原型近似（3）边界条件近似3.离算化过程及内容（1）确定计算模型几何形状和尺寸，包括边界约束条件和荷载情况；（2）选择单元类型，用有限个单元划

2、分求解区域；（3）单元和结点编号为保证单元面积不为负，单元结点应按逆时针编号4.定义单元（1）定义每个单元的节点编号：i,j,k,…;（2）定义每个单元结点在总体坐标系中的坐标i(x,y)j(x,y)k(x,y)（3）给出每个单元的材料性质：E、?、?、c、?用于平面问题离散化单元主要有：三角形三结点单元（简称三角形单元）、三角形6节点单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元、任意四边形单元5.划分求解域注意事项（1）曲线边界，可用多段直线模拟；（2）每个三角形（四边形）单元，边长比不应过于悬殊，以免计算误差过大

3、或者奇异；（3）任一单元的顶点必须是相邻单元的顶点，不能是内点；（4）重点区域加密处理；（5）荷载突变处（均布荷载及集中荷载）加密处理，突变处需设置结点；（6）材料性质差异悬殊处应分别划分单元；（7）充分利用对称性进行简化处理；（8）兼顾精度和经济性。153.2单元的位移函数及插值函数根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，以结点的位移作为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式。

4、对于弹性力学平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，u?a1?a2x?a3y?a4x?a5xy?a6y?...22v?b1?b2x?b3y?b4x?b5xy?b6y?...22（3.1）多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。具体取多少项，由单元形式来确定。即以结点位移来确定位移函数中的待定系数。图3.1如图3.1所示的3结点三角形单元，结点I、J、M的坐标分别为(xi,yi)、(xj,yj)、(xm,ym)，结点位移分别为ui、vi、uj、vj、um、vm。六个节点位移只能确定六个多项式的系数，

5、所以3结点三角形单元的位移函数如下，u?a1?a2x?a3y??v?a4?a5x?a6y?（3.2）将3个结点上的坐标和位移分量代入公式（3.2）就可以将六个待定系数用结点坐标和位移分量表示出来。将水平位移分量和结点坐标代入（3.2）中的第一式，ui?a1?a2xi?a3yiuj?a1?a2xj?a3yjum?a1?a2xm?a3ym写成矩阵形式，16?ui??1????uj??1xixjyi??a1????yj?a2?（3.3）????u?m???1xmy??m???a3??1xy?ii?令?1xjy?j???

6、T?，??1xmym???a?1??u则有?a?i??1???2???T?uj???a???u?3?m?（3.4）[T]?1?[T]*TT?2A，A为三角形单元的面积。[T]的伴随矩阵为，?xTjym?xmyjyj?ymxm?xj??T?*???xmyi?xiymym?yix?i?xm?（3.5）??xiyj?xjyiyi?yjxj?xi???abTici??aajam?令[T]*??i?ajbjc?j???i?bibjb?m?（3.6）??ambmcm????cicjcm???a?aaa则?1??a??1?ij

7、m??ui?2?（3.7）??bibjb???u?m?j?a?2A?3???cicjc?m???u?m?同样，将垂直位移分量与结点坐标代入公式（3.2）中的第二式，可得，?a?aa?vi??4??a??1?ijam?5?b???m??bibj??vj?（3.8）a?2A?6???cicjc???v?m?m?将（3.7）、（3.8）代回（3.2）整理后可得，u?12A[(ai?bix?ciy)ui?(aj?bjx?cjy)uj?(am?bmx?cmy)um]v?12A[(ai?bix?ciy)vi?(aj?bjx?

8、cjy)vj?(am?bmx?cmy)vm]17令Ni?12A(ai?bix?ciy)（下标i，j，m轮换）?ui???v?i?0???uj?????Nm?vj???u?m????vm??可得?u??Ni?????v??00NiN0j0NjNm0（3.9）单元内的位移记为?u??f?????v??ui???vi??i???????uj?????j????????vj??m